Prove as seguintes identidades:
\operatorname{sen}^{6} \alpha+\cos ^{6} \alpha=1-\frac{3}{4} \operatorname{sen}^{2} 2 \alpha

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha \;=\; 1 - \frac{3}{4}\,\sin^{2}2\alpha.
O conteúdo principal é manipulação de potências trigonométricas usando identidades básicas:
  • soma de cubos a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
  • \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,
  • e \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.

Passo 2

Começamos notando que
\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha =\bigl(\sin^{2}\alpha\bigr)^{3}+\bigl(\cos^{2}\alpha\bigr)^{3}.
Aplicando a soma de cubos com a=\sin^{2}\alpha e b=\cos^{2}\alpha, obtemos
a^3+b^3=(a+b)\bigl(a^2-ab+b^2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha =(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)\bigl(\sin^{4}\alpha-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha\bigr).
Como \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1, isso reduz para
\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha =\sin^{4}\alpha - \sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha.

Passo 3

Agora o termo \sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha pode ser escrito usando
\bigl(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\bigr)^{2} =\sin^{4}\alpha+2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha \;=\;1,
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\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha =1 - 2\,\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha.
Substituindo na expressão anterior, temos
\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha =\bigl[\,1 - 2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha\bigr] \;-\;\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha =1 - 3\,\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha.

Passo 4

Finalmente, usamos a identidade de ângulo duplo
\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \sin^{2}2\alpha = 4\,\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha.
Isso dá
\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha =\frac{1}{4}\,\sin^{2}2\alpha,
e portanto
\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha =1 - 3\,\bigl(\tfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha\bigr) =1 - \frac{3}{4}\,\sin^{2}2\alpha.

Resposta

\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha = 1 - \frac{3}{4}\,\sin^{2}2\alpha.

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