Resolva:
\left\{ \begin{array}{l} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=e^{2 x}+x^{2}-1, \\\ y(0)=1 / 8, \\\ y^{\prime}(0)=1 . \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y''-2y'=e^{2x}+x^{2}-1,\\\ y(0)=\tfrac18,\\\ y'(0)=1. \end{cases}
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) obter uma particular por coeficientes indeterminados, e (iii) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Resolver a equação homogênea
y''-2y'=0.
A equação característica é
r^{2}-2r=r(r-2)=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,\,2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}.

Passo 3

Propor um particular para o termo e^{2x}. Como e^{2x} corresponde a uma raiz r=2 simples da homogênea, escolhemos
y_{a}(x)=A\,x\,e^{2x}.
Calculando
y_{a}'=A e^{2x}(1+2x),\quad y_{a}''=A e^{2x}(4+4x),
então
y_{a}''-2y_{a}'=A e^{2x}\bigl((4+4x)-2(1+2x)\bigr) =2A e^{2x} \stackrel!=e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac12.
Portanto
y_{a}(x)=\tfrac12\,x\,e^{2x}.

Passo 4

Propor um particular para o polinômio x^{2}-1\). A raiz \(r=0\) da homogênea exige multiplicar o palpite por \(x\). Logo \[y_{b}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x.
Calculamos
y_{b}'=3a x^{2}+2b x+c,\quad y_{b}''=6a x+2b,
e
y_{b}''-2y_{b}' =6a x+2b-2(3a x^{2}+2b x+c) =-6a x^{2}+(6a-4b)x+(2b-2c).
Igualando a x^{2}-1 obtemos o sistema
\begin{cases} -6a=1,\\\\ 6a-4b=0,\\\\ 2b-2c=-1, \end{cases}
cuja solução é a=-\tfrac16\], \(b=-\tfrac14, c=\tfrac14. Logo
y_{b}(x)=-\tfrac16 x^{3}-\tfrac14 x^{2}+\tfrac14 x.

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y(x)=y_{h}(x)+y_{a}(x)+y_{b}(x) =C_{1}+C_{2}e^{2x} +\tfrac12 x e^{2x} -\tfrac16 x^{3} -\tfrac14 x^{2} +\tfrac14 x.

Passo 6

Impor as condições iniciais. Primeiro
y(0)=C_{1}+C_{2}= \tfrac18.
Em seguida calculamos
y'(x) =2C_{2}e^{2x} +\bigl(\tfrac12 e^{2x}+x e^{2x}\bigr) -\tfrac12 x^{2} -\tfrac12 x +\tfrac14,
logo
y'(0)=2C_{2}+\tfrac12+\tfrac14=2C_{2}+\tfrac34 \stackrel!=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=\tfrac18,
e daí C_{1}=\tfrac18-C_{2}=0.

Resposta

\boxed{ y(x)=\Bigl(\tfrac18+\tfrac12\,x\Bigr)e^{2x} -\tfrac16\,x^{3} -\tfrac14\,x^{2} +\tfrac14\,x. }

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