Resolva:
\left\{ \begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen} x, \\\ y(0)=1, \\\ y^{\prime}(0)=1 . \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea, a saber
y'' + 4y = \sin x,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método de resolver primeiro a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' + 4y = 0,
cuja equação característica é
r^2 + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; r = \pm 2i.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
y_p(x) = a\sin x + b\cos x.
Calculamos as derivadas:
y_p''(x) = -a\sin x - b\cos x.
Substituindo em y''+4y=\sin x, obtemos
y_p'' + 4y_p = (-a\sin x - b\cos x) + 4(a\sin x + b\cos x) = 3a\sin x + 3b\cos x.
Para que isso seja igual a \sin x, precisamos
3a = 1, \quad 3b = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac{1}{3},\; b = 0.

Passo 4

Portanto, uma solução particular é
y_p(x) = \tfrac{1}{3}\,\sin x.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x) + \tfrac{1}{3}\sin x.

Passo 6

Aplicando a condição y(0)=1, temos
y(0) = A\cos0 + B\sin0 + \tfrac{1}{3}\sin0 = A = 1,
logo A=1.

Passo 7

Agora, derivamos y(x):
y'(x) = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) + \tfrac{1}{3}\cos x.
Em x=0,
y'(0) = -2A\cdot 0 + 2B\cdot1 + \tfrac{1}{3}\cdot1 = 2B + \tfrac{1}{3} = 1 \;\Longrightarrow\; 2B = \tfrac{2}{3} \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{1}{3}.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = \cos(2x) + \tfrac{1}{3}\sin(2x) + \tfrac{1}{3}\sin x.

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