O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes não homogênea, a saber
y'' + 4y = \sin x,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Vamos usar o método de resolver primeiro a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
y'' + 4y = 0,
cuja equação característica é
r^2 + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; r = \pm 2i.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).
Passo 3
Procuramos uma solução particular da forma
y_p(x) = a\sin x + b\cos x.
Calculamos as derivadas:
y_p''(x) = -a\sin x - b\cos x.
Substituindo em y''+4y=\sin x, obtemos
y_p'' + 4y_p = (-a\sin x - b\cos x) + 4(a\sin x + b\cos x) = 3a\sin x + 3b\cos x.
Para que isso seja igual a \sin x, precisamos
3a = 1, \quad 3b = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac{1}{3},\; b = 0.