Prove que as seguintes sequências são de Cauchy:
x_{n}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+···+\frac{1}{n!}
x_{n}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+···+\frac{1}{n!}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para provar que essa sequência é de Cauchy. Ou seja, precisamos mostrar que:
para todo
existe
tal que, para quaisquer
,
As informações relevantes são a expressão dos termos
(soma das inversas de fatoriais até
) e a definição de sequência de Cauchy acima.
Passo 2
Começo escrevendo a diferença entre dois termos da sequência (supondo, sem perda de generalidade,
):
Como a soma é de termos positivos, podemos boundear pela soma das caudas até o infinito:
Então basta mostrar que a cauda
pode ser tornada arbitrariamente pequena quando
é grande.
Passo 3
Para estimar a cauda, faço uma mudança de índice: escrevo os termos com
. Assim, para
temos
e
Agora vou comparar
com
. Observando a definição do fatorial,
Para
o produto vazio dá
, e para
cada fator
com
é maior ou igual a
(pois
é um inteiro não-negativo), logo o produto tem pelo menos
fatores cada um
. Assim, para todo
vale a desigualdade
Passo 4
Da desigualdade anterior segue
Somando em
,
A soma geométrica no lado direito é
Portanto obtemos o limite superior simples e útil
Passo 5
Agora uso esse limite para verificar a condição de Cauchy. Seja um
dado. Como
, existe
tal que
Então, para quaisquer
, tomando
, temos
Isto mostra exatamente a propriedade de Cauchy: após
os termos ficam todos a uma distância menor que
entre si.
Passo 6
Concluímos, portanto, que a sequência
satisfaz a definição de sequência de Cauchy.
Resposta
A sequência
é de Cauchy.