Prove que as seguintes sequências são de Cauchy:
x_{n}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+···+\frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x_n = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!}
e pede para provar que essa sequência é de Cauchy. Ou seja, precisamos mostrar que:
para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para quaisquer m,n\ge N,
|x_m-x_n|<\varepsilon.
As informações relevantes são a expressão dos termos x_n (soma das inversas de fatoriais até n!) e a definição de sequência de Cauchy acima.

Passo 2

Começo escrevendo a diferença entre dois termos da sequência (supondo, sem perda de generalidade, m\ge n):
|x_m-x_n| = \sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k!}.
Como a soma é de termos positivos, podemos boundear pela soma das caudas até o infinito:
|x_m-x_n| \le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}.
Então basta mostrar que a cauda \sum_{k=n+1}^{\infty} \tfrac{1}{k!} pode ser tornada arbitrariamente pequena quando n é grande.

Passo 3

Para estimar a cauda, faço uma mudança de índice: escrevo os termos com j=k-n. Assim, para j\ge 1 temos k=n+j e
\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(n+j)!}.
Agora vou comparar (n+j)! com (n+1)!. Observando a definição do fatorial,
(n+j)! = (n+1)!\cdot (n+2)(n+3)\cdots(n+j).
Para j=1 o produto vazio dá (n+1)!, e para j\ge 2 cada fator (n+i) com i\ge 2 é maior ou igual a 2 (pois n é um inteiro não-negativo), logo o produto tem pelo menos j-1 fatores cada um \ge 2. Assim, para todo j\ge 1 vale a desigualdade
(n+j)! \ge (n+1)!\,2^{\,j-1}.

Passo 4

Da desigualdade anterior segue
\frac{1}{(n+j)!} \le \frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{1}{2^{\,j-1}}.
Somando em j\ge 1,
\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(n+j)!} \le \frac{1}{(n+1)!}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,j-1}}.
A soma geométrica no lado direito é
\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,j-1}} = 1 + \sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{2^{t}} = 1 + 1 = 2.
Portanto obtemos o limite superior simples e útil
\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} \le \frac{2}{(n+1)!}.

Passo 5

Agora uso esse limite para verificar a condição de Cauchy. Seja um \varepsilon>0 dado. Como \lim_{N\to\infty}\frac{2}{(N+1)!}=0, existe N tal que
\frac{2}{(N+1)!}<\varepsilon.
Então, para quaisquer m,n\ge N, tomando n\le m, temos
|x_m-x_n| \le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} \le \frac{2}{(n+1)!} \le \frac{2}{(N+1)!} < \varepsilon.
Isto mostra exatamente a propriedade de Cauchy: após N os termos ficam todos a uma distância menor que \varepsilon entre si.

Passo 6

Concluímos, portanto, que a sequência \;x_n=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}\; satisfaz a definição de sequência de Cauchy.

Resposta

A sequência x_n=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{n!} é de Cauchy.

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