Suponha que ( x_{n} ) é uma sequência limitada e que a \in \mathbb{R} não é o limite de ( x_{n} ). Prove que existe uma subsequência ( x_{n_{k}} ) da sequência ( x_{n} ) que converge para um número real b \neq a.
  1. Seja ( x_{n} ) uma sequência convergente. Mostre que ( x_{n} ) possui um único valor de aderência. Dê exemplo de uma sequência \left(x_{n}\right) que tenha apenas um valor de aderência, mas que não seja convergente.

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.
  • Problema A: Foi dada uma sequência (x_{n}) que é limitada e um número real a que NÃO é limite de (x_{n}). O pedido: provar que existe uma subsequência (x_{n_{k}}) que converge para algum número real b com b \neq a.
  • Problema 28: (i) Mostrar que, se (x_{n}) é convergente, então ela possui um único valor de aderência. (ii) Dar um exemplo de uma sequência que tenha apenas um valor de aderência, mas que NÃO seja convergente.
Dados relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
  • (x_{n}) é limitada (existe M>0 tal que |x_{n}|\le M para todo n).
  • a\in\mathbb{R} não é limite de (x_{n}).
  • Para o item 28, parte (i) temos que (x_{n}) é convergente (existe limite).

Passo 2

Interpretação precisa da hipótese " a não é limite de (x_{n}) " — enunciando a negação da definição de limite e extraindo uma constante útil.
  • Lembrando a definição: dizer que a é limite de (x_{n}) significa: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |x_{n}-a|<\varepsilon.
  • Negando essa afirmação obtemos: existe um \varepsilon_{0}>0 tal que, para todo N\in\mathbb{N}, existe algum n\ge N com
|x_{n}-a|\ge \varepsilon_{0}.
  • Intuição: como a não é limite, não existe nenhum N que force todos os termos a ficar perto de a; portanto, para algum raio \varepsilon_{0} há sempre termos da sequência fora da bola de raio \varepsilon_{0} em torno de a — e isso ocorre infinitas vezes.

Passo 3

Construção explícita de uma subsequência cujos termos mantêm distância pelo menos \varepsilon_{0} de a.
  • Usando a propriedade do passo anterior, construímos por indução uma sequência de índices crescente (n_{k}) tal que, para todo k,
n_{1}\ge 1,\qquad |x_{n_{1}}-a|\ge \varepsilon_{0},
e, tendo escolhido n_{k}, escolhemos n_{k+1}>n_{k} com |x_{n_{k+1}}-a|\ge \varepsilon_{0}. A existência de tal n_{k+1} é garantida pela condição "para todo N existe n\ge N com |x_{n}-a|\ge\varepsilon_{0}".
  • Assim obtemos uma subsequência (x_{n_{k}}) com
\text{para todo }k,\qquad |x_{n_{k}}-a|\ge \varepsilon_{0}.

Passo 4

Aplicar que a subsequência é limitada e extrair uma subsequência convergente (usando Bolzano–Weierstrass), preparando o argumento para mostrar que o limite não pode ser a.
  • Como (x_{n}) é limitada, qualquer subsequência também é limitada; portanto (x_{n_{k}}) é limitada.
  • Teorema (Bolzano–Weierstrass, que você pode usar como lema): toda sequência real limitada possui uma subsequência convergente. (Se quiser, a prova desse teorema usa subdivisão de intervalos ou compactidade de [ -M,M].)
  • Logo, a partir de (x_{n_{k}}) podemos extrair uma sub-subsequência (vou renomeá-la ainda como (x_{n_{k}}) por simplicidade) que converge para algum b\in\mathbb{R}:
x_{n_{k}}\xrightarrow[k\to\infty]{} b.

Passo 5

Mostrar que o limite b satisfaz b\neq a, usando a desigualdade |x_{n_{k}}-a|\ge \varepsilon_{0}.
  • Para todo k temos |x_{n_{k}}-a|\ge \varepsilon_{0}.
  • Tomando limite quando k\to\infty e usando que a função t\mapsto |t-a| é contínua, obtemos
|b-a|=\lim_{k\to\infty}|x_{n_{k}}-a|\ge \varepsilon_{0}>0.
  • Portanto b\neq a. Concluímos que existe uma subsequência convergente cujo limite é um número real diferente de a, como pedido.

Passo 6

Agora o item 28 (i): provar que uma sequência convergente tem um único valor de aderência. Explicar o que é valor de aderência e usar propriedades de subsequências.
  • Definição: um número c\in\mathbb{R} é valor de aderência (ou ponto de acumulação) de (x_{n}) se existe alguma subsequência (x_{n_{k}}) tal que x_{n_{k}}\to c.
  • Suponha que (x_{n}) converge para \ell, isto é,
x_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{} \ell.
  • Tomemos qualquer valor de aderência c. Por definição existe uma subsequência (x_{n_{k}}) com x_{n_{k}}\to c.
  • Mas toda subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite da sequência original: de fato, dado \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |x_{n}-\ell|<\varepsilon; então para k grande temos n_{k}\ge N e assim |x_{n_{k}}-\ell|<\varepsilon, logo x_{n_{k}}\to\ell.
  • Portanto a subsequência converge simultaneamente para c e para \ell. Pela unicidade do limite em \mathbb{R} (se uma sequência converge para dois números, esses números têm de ser iguais) segue c=\ell.
  • Conclusão: todo valor de aderência coincide com \ell. Assim só existe um valor de aderência, que é precisamente o limite \ell.

Passo 7

Item 28 (ii): dar exemplo de sequência que tem apenas um valor de aderência, mas não é convergente — construir a sequência e justificar com detalhes.
  • Vou construir uma sequência que toma o valor 0\) "muitas vezes" e, ocasionalmente, explode para valores cada vez maiores. Defina \[x_{n}=\begin{cases} k, & \text{se } n=2^{k}\text{ para algum }k\in\mathbb{N},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
  • Explicação da construção: nos índices n=2^{1},2^{2},2^{3},\dots\] os termos são \(1,2,3,\dots. Para todos os outros índices os termos valem 0.
  • Mostrar que 0 é valor de aderência: considere a subsequência formada pelos índices que não são potências de 2. Essa subsequência é constantemente 0 em muitos termos; mais formalmente, pode-se escolher uma subsequência de índices n_{k} todos distintos e não-poderes-de-2, então x_{n_{k}}=0 para todo k, logo x_{n_{k}}\to 0. Assim 0 é um valor de aderência.
  • Mostrar que não há outro valor de aderência finito: qualquer subsequência que contenha apenas índices 2^{k} tem a forma x_{2^{k}}=k e diverge para +\infty, portanto não converge para nenhum número real. Qualquer subsequência que contenha infinitamente muitos índices que NÃO são potências de 2 tem uma sub-subsequência constante igual a 0 e, portanto, qualquer limite finito dessa subsequência tem de ser 0. Portanto não existe subsequência convergente com limite real diferente de 0.
  • Conclusão: o único valor de aderência (em \mathbb{R}) é 0, e a sequência NÃO é convergente porque, por exemplo, a subsequência \big(x_{2^{k}}\big)=k diverge para +\infty. Assim temos um exemplo pedido.]

Resposta

Existe uma subsequência (x_{n_{k}}) que converge para algum b\in\mathbb{R} com |b-a|\ge\varepsilon_{0}>0, logo b\neq a.
Se (x_{n}) converge para \ell, então o único valor de aderência é \ell.
Exemplo (sequência com único valor de aderência e não convergente): x_{n}=k se n=2^{k}, e x_{n}=0 caso contrário. O único valor de aderência é 0, mas (x_{n}) não converge.

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