Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se ab é par, então a é par ou b é par.
Se ab é par, então a é par ou b é par.
Passo 1
O enunciado pede: provar, pela forma contrapositiva, a afirmação “Se
é par, então
é par ou
é par.”
Informações dadas (implícitas e necessárias): e
são inteiros.
Meta: demonstrar a validade da implicação acima.
Informações dadas (implícitas e necessárias):
Meta: demonstrar a validade da implicação acima.
Passo 2
O que significa provar pela forma contrapositiva?
Se temos uma implicação "se então
", a contrapositiva é “se não
então não
“. Essas duas declarações são logicamente equivalentes: provar a contrapositiva prova a implicação original.
No nosso caso:
= "
é par.”
= "
é par ou
é par.”
A negação de (ou seja, “não
“) é: "
é ímpar e
é ímpar.”
A negação de é: "
é ímpar.”
Portanto, a contrapositiva que vamos provar é: “Se e
são ímpares, então
é ímpar.”
Se temos uma implicação "se
No nosso caso:
A negação de
A negação de
Portanto, a contrapositiva que vamos provar é: “Se
Passo 3
Definições formais que vamos usar (explicadas):
- Dizemos que um inteiro
é par quando existe um inteiro tal que . Isso significa que é múltiplo de . - Dizemos que um inteiro
é ímpar quando existe um inteiro tal que . Ou seja, é um número que dá resto na divisão por .
Essas definições são padrão e muito úteis porque transformam propriedades qualitativas (“par”, “ímpar”) em equações algébricas que podemos manipular.
Passo 4
Começamos a prova da contrapositiva: assumimos que
e
são ímpares. Pelas definições, existem inteiros
e
tais que
e
Aqui explico: escrevemos
e
nessa forma para poder multiplicá-los e verificar se o produto tem a forma
(o que caracterizaria um número ímpar).
Passo 5
Calculemos o produto
usando as expressões acima. Multiplicando:
Agora expandimos passo a passo:
Agrupando os termos que têm fator
:
Observe que
é soma e produto de inteiros, portanto é um inteiro; chame esse inteiro de
. Assim
com
. Isso mostra que
tem a forma
, ou seja,
é ímpar.
Passo 6
Concluímos a contrapositiva: “Se
e
são ímpares, então
é ímpar.” Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmação original, isso prova que a afirmação original é verdadeira: “Se
é par, então
é par ou
é par.”
Comentário amigo: intuitivamente, se ambos fossem ímpares o produto seria ímpar (como acabamos de mostrar), então para o produto ser par não pode acontecer dos dois serem ímpares — pelo menos um tem que ser par.
Comentário amigo: intuitivamente, se ambos fossem ímpares o produto seria ímpar (como acabamos de mostrar), então para o produto ser par não pode acontecer dos dois serem ímpares — pelo menos um tem que ser par.
Resposta
Se
é par, então
é par ou
é par.