Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se ab é par, então a é par ou b é par.

Passo 1

O enunciado pede: provar, pela forma contrapositiva, a afirmação “Se ab é par, então a é par ou b é par.”
Informações dadas (implícitas e necessárias): a e b são inteiros.
Meta: demonstrar a validade da implicação acima.

Passo 2

O que significa provar pela forma contrapositiva?
Se temos uma implicação "se P então Q", a contrapositiva é “se não Q então não P“. Essas duas declarações são logicamente equivalentes: provar a contrapositiva prova a implicação original.
No nosso caso:
P = " ab é par.”
Q = " a é par ou b é par.”
A negação de Q (ou seja, “não Q“) é: " a é ímpar e b é ímpar.”
A negação de P é: " ab é ímpar.”
Portanto, a contrapositiva que vamos provar é: “Se a e b são ímpares, então ab é ímpar.”

Passo 3

Definições formais que vamos usar (explicadas):
  • Dizemos que um inteiro n é par quando existe um inteiro k tal que n = 2k. Isso significa que n é múltiplo de 2.
  • Dizemos que um inteiro n é ímpar quando existe um inteiro k tal que n = 2k+1. Ou seja, é um número que dá resto 1 na divisão por 2.
    Essas definições são padrão e muito úteis porque transformam propriedades qualitativas (“par”, “ímpar”) em equações algébricas que podemos manipular.

Passo 4

Começamos a prova da contrapositiva: assumimos que a e b são ímpares. Pelas definições, existem inteiros m e n tais que
a = 2m + 1
e
b = 2n + 1.
Aqui explico: escrevemos a e b nessa forma para poder multiplicá-los e verificar se o produto tem a forma 2(\text{inteiro})+1 (o que caracterizaria um número ímpar).

Passo 5

Calculemos o produto ab usando as expressões acima. Multiplicando:
ab = (2m+1)(2n+1).
Agora expandimos passo a passo:
ab = 2m\cdot 2n + 2m\cdot 1 + 1\cdot 2n + 1\cdot 1.
ab = 4mn + 2m + 2n + 1.
Agrupando os termos que têm fator 2:
ab = 2(2mn + m + n) + 1.
Observe que 2mn + m + n é soma e produto de inteiros, portanto é um inteiro; chame esse inteiro de t. Assim
ab = 2t + 1,
com t = 2mn + m + n \in \mathbb{Z}. Isso mostra que ab tem a forma 2(\text{inteiro})+1, ou seja, ab é ímpar.

Passo 6

Concluímos a contrapositiva: “Se a e b são ímpares, então ab é ímpar.” Como a contrapositiva é logicamente equivalente à afirmação original, isso prova que a afirmação original é verdadeira: “Se ab é par, então a é par ou b é par.”
Comentário amigo: intuitivamente, se ambos fossem ímpares o produto seria ímpar (como acabamos de mostrar), então para o produto ser par não pode acontecer dos dois serem ímpares — pelo menos um tem que ser par.

Resposta

Se ab é par, então a é par ou b é par.

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