Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se
é par, então n é par.
Se
Passo 1
Enunciado dado: provar que, para
inteiro, se
é par então
é par.
Informações relevantes que o enunciado dá: é um número inteiro; a propriedade a demonstrar é uma implicação do tipo “se
é par então
é par”.
O pedido explícito: provar essa afirmação usando a forma contrapositiva.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O pedido explícito: provar essa afirmação usando a forma contrapositiva.
Passo 2
O que é provar pela contrapositiva? Se temos uma implicação
, a contrapositiva é a implicação logicamente equivalente
. Ou seja, em vez de provar diretamente "se
então
", podemos provar “se não
então não
“. Aqui vamos aplicar isso: tomar
= "
é par” e
= "
é par”. Então a contrapositiva é:
Nossa missão será provar essa contrapositiva.
Passo 3
Definições que usaremos (muito importantes e simples):
- Dizemos que um inteiro
é par se existe tal que . - Dizemos que um inteiro
é ímpar se existe tal que .
Essas definições são exaustivas para inteiros: todo inteiro é ou par ou ímpar (e não ambos).
Passo 4
Assuma a hipótese da contrapositiva:
é ímpar. Pela definição de ímpar, existe um inteiro
tal que
Passo 5
Calcule
usando a forma
. Primeiro expandimos o quadrado:
Agora agrupamos os dois primeiros termos:
Logo
Aqui
é um inteiro (soma e produto de inteiros), digamos
. Assim
ou seja,
é da forma “duas vezes um inteiro mais 1”, que é precisamente a definição de número ímpar. Portanto
é ímpar.
Passo 6
Concluímos a contrapositiva: se
é ímpar então
é ímpar. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação original, segue que a afirmação inicial é verdadeira: se
é par então
é par. (Exemplo rápido para intuir:
é ímpar e
é ímpar;
é par e
é par.)
Resposta
Se
é par, então
é par.