Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se \mathrm{n}^{2} é par, então n é par.

Passo 1

Enunciado dado: provar que, para n inteiro, se n^{2} é par então n é par.
Informações relevantes que o enunciado dá: n é um número inteiro; a propriedade a demonstrar é uma implicação do tipo “se n^{2} é par então n é par”.
O pedido explícito: provar essa afirmação usando a forma contrapositiva.

Passo 2

O que é provar pela contrapositiva? Se temos uma implicação P\Rightarrow Q, a contrapositiva é a implicação logicamente equivalente \lnot Q \Rightarrow \lnot P. Ou seja, em vez de provar diretamente "se P então Q", podemos provar “se não Q então não P“. Aqui vamos aplicar isso: tomar P = " n^{2} é par” e Q = " n é par”. Então a contrapositiva é:
\text{se \(n\) não é par (isto é, \(n\) é ímpar) então \(n^{2}\) não é par (isto é, \(n^{2}\) é ímpar).}ãéééíããéééí
Nossa missão será provar essa contrapositiva.

Passo 3

Definições que usaremos (muito importantes e simples):
  • Dizemos que um inteiro m é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que m=2k.
  • Dizemos que um inteiro m é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que m=2k+1.
    Essas definições são exaustivas para inteiros: todo inteiro é ou par ou ímpar (e não ambos).

Passo 4

Assuma a hipótese da contrapositiva: n é ímpar. Pela definição de ímpar, existe um inteiro k tal que
n = 2k + 1.

Passo 5

Calcule n^{2} usando a forma n=2k+1. Primeiro expandimos o quadrado:
n^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1.
Agora agrupamos os dois primeiros termos:
4k^{2} + 4k = 2(2k^{2} + 2k).
Logo
n^{2} = 2(2k^{2} + 2k) + 1.
Aqui 2k^{2}+2k é um inteiro (soma e produto de inteiros), digamos m = 2k^{2}+2k\in\mathbb{Z}. Assim
n^{2} = 2m + 1,
ou seja, n^{2} é da forma “duas vezes um inteiro mais 1”, que é precisamente a definição de número ímpar. Portanto n^{2} é ímpar.

Passo 6

Concluímos a contrapositiva: se n é ímpar então n^{2} é ímpar. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação original, segue que a afirmação inicial é verdadeira: se n^{2} é par então n é par. (Exemplo rápido para intuir: 3 é ímpar e 3^{2}=9 é ímpar; 4 é par e 4^{2}=16 é par.)

Resposta

Se n^{2} é par, então n é par.

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