Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se
é ímpar, então
é ímpar.
Se
Passo 1
O enunciado dá a proposição condicional: “Se
é ímpar, então
é ímpar.”
Informações fornecidas:
- A variável é um inteiro
(assumimos ). - A hipótese é que
é ímpar. - A conclusão a ser provada é que
é ímpar.
O que se pede: provar essa implicação.
Passo 2
Estratégia: vamos provar a proposição pela contrapositiva. Vou explicar o que é isso: para uma implicação "se
então
", a contrapositiva é a implicação "se não
então não
". Essas duas afirmações são logicamente equivalentes — provar a contrapositiva prova a proposição original. Aqui:
-
= " é ímpar". -
= " é ímpar".
A contrapositiva é: “Senão é ímpar (ou seja, é par), então não é ímpar (ou seja, é par).” Formalmente: provar
Passo 3
Lembrete sobre paridade (definição e notação): um inteiro
é par se existe
tal que
. Um inteiro
é ímpar se existe
tal que
. Vou usar essas definições passo a passo.
Passo 4
Assuma a hipótese da contrapositiva:
é par. Pelo significado de par, existe
tal que
Isolando
,
Agora vou escrever
na forma
(forma típica de um ímpar) para mostrar que
é ímpar. Note que
Como
, também
. Assim podemos escrever
para algum
. Isso mostra que
é ímpar. (Intuição: somar
a um número ímpar dá par; portanto se
é par,
tem de ser ímpar.)
Passo 5
Agora que sabemos
com
, vamos calcular
:
Expansão passo a passo:
Logo
Agora fatoramos um
:
Como
, a expressão
é um inteiro. Portanto
é um múltiplo de
, isto é,
é par.
Passo 6
Concluímos que a contrapositiva foi provada: “se
é par então
é par”. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação original, segue que a proposição original também é verdadeira: “se
é ímpar então
é ímpar.”
Resposta
O teorema é verdadeiro.