Prove os seguintes teoremas pela forma contrapositiva:
Se \mathrm{n}^{2}+5 é ímpar, então \mathrm{n}+3 é ímpar.

Passo 1

O enunciado dá a proposição condicional: “Se \mathrm{n}^{2}+5 é ímpar, então \mathrm{n}+3 é ímpar.”
Informações fornecidas:
  • A variável é um inteiro \mathrm{n} (assumimos \mathrm{n}\in\mathbb{Z}).
  • A hipótese é que \mathrm{n}^{2}+5 é ímpar.
  • A conclusão a ser provada é que \mathrm{n}+3 é ímpar.
O que se pede: provar essa implicação.

Passo 2

Estratégia: vamos provar a proposição pela contrapositiva. Vou explicar o que é isso: para uma implicação "se P então Q", a contrapositiva é a implicação "se não Q então não P". Essas duas afirmações são logicamente equivalentes — provar a contrapositiva prova a proposição original. Aqui:
  • P = " \mathrm{n}^{2}+5 é ímpar".
  • Q = " \mathrm{n}+3 é ímpar".
    A contrapositiva é: “Se \mathrm{n}+3 não é ímpar (ou seja, é par), então \mathrm{n}^{2}+5 não é ímpar (ou seja, é par).” Formalmente: provar
\text{Se }\mathrm{n}+3\text{ é par, então }\mathrm{n}^{2}+5\text{ é par.}éãé

Passo 3

Lembrete sobre paridade (definição e notação): um inteiro m é par se existe k\in\mathbb{Z} tal que m=2k. Um inteiro m é ímpar se existe k\in\mathbb{Z} tal que m=2k+1. Vou usar essas definições passo a passo.

Passo 4

Assuma a hipótese da contrapositiva: \mathrm{n}+3 é par. Pelo significado de par, existe k\in\mathbb{Z} tal que
\mathrm{n}+3 = 2k.
Isolando \mathrm{n},
\mathrm{n} = 2k - 3.
Agora vou escrever \mathrm{n} na forma 2t+1 (forma típica de um ímpar) para mostrar que \mathrm{n} é ímpar. Note que
2k-3 = 2(k-2)+1.
Como k\in\mathbb{Z}, também t:=k-2\in\mathbb{Z}. Assim podemos escrever
\mathrm{n} = 2t + 1
para algum t\in\mathbb{Z}. Isso mostra que \mathrm{n} é ímpar. (Intuição: somar 3 a um número ímpar dá par; portanto se \mathrm{n}+3 é par, \mathrm{n} tem de ser ímpar.)

Passo 5

Agora que sabemos \mathrm{n}=2t+1 com t\in\mathbb{Z}, vamos calcular \mathrm{n}^{2}+5:
\mathrm{n}^{2}+5 = (2t+1)^{2} + 5.
Expansão passo a passo:
(2t+1)^{2} = 4t^{2} + 4t + 1.
Logo
\mathrm{n}^{2}+5 = 4t^{2} + 4t + 1 + 5 = 4t^{2} + 4t + 6.
Agora fatoramos um 2:
4t^{2} + 4t + 6 = 2\bigl(2t^{2} + 2t + 3\bigr).
Como t\in\mathbb{Z}, a expressão 2t^{2} + 2t + 3 é um inteiro. Portanto \mathrm{n}^{2}+5 é um múltiplo de 2, isto é, \mathrm{n}^{2}+5 é par.

Passo 6

Concluímos que a contrapositiva foi provada: “se \mathrm{n}+3 é par então \mathrm{n}^{2}+5 é par”. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à implicação original, segue que a proposição original também é verdadeira: “se \mathrm{n}^{2}+5 é ímpar então \mathrm{n}+3 é ímpar.”

Resposta

O teorema é verdadeiro.

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