Prove de forma direta os seguintes teoremas sobre a relação divide:
Se a|b, então ab|b²

Passo 1

Enunciado claro: temos a hipótese a\mid b e precisamos provar diretamente que ab\mid b^{2}.
Informações dadas:
  • a e b são inteiros (assumimos o contexto usual de divisibilidade).
  • A hipótese a\mid b significa que existe um inteiro (que chamaremos de k) tal que b = a k.
  • O que devemos mostrar é que existe um inteiro (não necessariamente o mesmo) que multiplicado por ab b^{2}, ou seja, provar que b^{2} é múltiplo de ab.

Passo 2

Relembrando a definição de divisibilidade (passo-a-passo didático): dizer a\mid b quer dizer exatamente que existe um número inteiro k tal que
b = a k.
Aqui k é o quociente inteiro quando dividimos b por a. Importante: produtos e somas de inteiros são inteiros (fechamento do conjunto dos inteiros), então k é um inteiro e qualquer produto envolvendo inteiros será inteiro.

Passo 3

A partir da hipótese, escrevemos b como b = a k. Vamos trabalhar com b^{2}. Começamos pela definição de quadrado:
b^{2} = b\cdot b.

Passo 4

Substituímos em uma das ocorrências de b a expressão a k vinda da hipótese:
b^{2} = b\cdot b = b\cdot (a k).

Passo 5

Usando a associatividade e comutatividade da multiplicação em \mathbb{Z} (podemos rearranjar os fatores), obtemos
b\cdot (a k) = (b a) k = (a b) k.
Assim conseguimos escrever b^{2} na forma b^{2} = (ab)\cdot k.

Passo 6

Conclusão lógica: como k é um inteiro (pela hipótese inicial) e escrevemos b^{2} como (ab) multiplicado por esse inteiro k, pela definição de divisibilidade segue que ab\mid b^{2}.
Observação sobre o caso a=0: a definição usual de divisibilidade exige cuidado com divisor zero (normalmente diz-se que 0 não divide números, ou que 0\mid 0 é uma situação degenerada). Como o enunciado foi dado de forma adequada, entendemos que a\mid b faz sentido no contexto usual (isto é, ou a\neq 0 ou, se a=0, então necessariamente b=0 e o enunciado é trivializado). A prova acima vale no caso padrão a\neq 0.

Resposta

ab \mid b^{2}

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