Prove de forma direta os seguintes teoremas sobre a relação divide:
Se a|b, então ab|b²
Se a|b, então ab|b²
Passo 1
Enunciado claro: temos a hipótese
e precisamos provar diretamente que
.
Informações dadas:
-
e são inteiros (assumimos o contexto usual de divisibilidade). - A hipótese
significa que existe um inteiro (que chamaremos de ) tal que . - O que devemos mostrar é que existe um inteiro (não necessariamente o mesmo) que multiplicado por
dá , ou seja, provar que é múltiplo de .
Passo 2
Relembrando a definição de divisibilidade (passo-a-passo didático): dizer
quer dizer exatamente que existe um número inteiro
tal que
Aqui
é o quociente inteiro quando dividimos
por
. Importante: produtos e somas de inteiros são inteiros (fechamento do conjunto dos inteiros), então
é um inteiro e qualquer produto envolvendo inteiros será inteiro.
Passo 3
A partir da hipótese, escrevemos
como
. Vamos trabalhar com
. Começamos pela definição de quadrado:
Passo 4
Substituímos em uma das ocorrências de
a expressão
vinda da hipótese:
Passo 5
Usando a associatividade e comutatividade da multiplicação em
(podemos rearranjar os fatores), obtemos
Assim conseguimos escrever
na forma
.
Passo 6
Conclusão lógica: como
é um inteiro (pela hipótese inicial) e escrevemos
como
multiplicado por esse inteiro
, pela definição de divisibilidade segue que
.
Observação sobre o caso
: a definição usual de divisibilidade exige cuidado com divisor zero (normalmente diz-se que
não divide números, ou que
é uma situação degenerada). Como o enunciado foi dado de forma adequada, entendemos que
faz sentido no contexto usual (isto é, ou
ou, se
, então necessariamente
e o enunciado é trivializado). A prova acima vale no caso padrão
.