Prove que a sequência
\frac{n^{2}}{2 n+1} \sin \frac{\pi}{n}
é convergente e ache seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência
a_n = \frac{n^{2}}{2n+1}\,\sin\frac{\pi}{n}
é convergente e determinar seu limite. Vamos reescrever a_n de modo a usar o limite fundamental
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Note que
\frac{n^{2}}{2n+1} =\frac{n}{2+\tfrac1n}.
Portanto
a_n =\frac{n}{2+\tfrac1n}\,\sin\frac{\pi}{n}.

Passo 3

Multiplicamos e dividimos por \pi para isolar o quociente \displaystyle\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}:
a_n =\frac{n\pi}{2+\tfrac1n}\,\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} =\frac{\pi}{2+\tfrac1n}\,\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}.

Passo 4

Ao deixar n\to\infty temos \tfrac1n\to0 e \pi/n\to0. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{2+\tfrac1n} =\frac{\pi}{2}, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} =1.
Dessa forma
\lim_{n\to\infty}a_n =\frac{\pi}{2}\times1 =\frac{\pi}{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \displaystyle\frac{\pi}{2}.

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