Determine se a sequência
\frac{4 n^{2}}{2 n^{2}+1}
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{4\,n^{2}}{2\,n^{2} + 1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve o conceito de limite de sequência quando n \to \infty e a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior grau de n.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n^{2}, que é o maior grau de n na expressão:
a_{n} = \frac{4\,n^{2}}{2\,n^{2} + 1} = \frac{4}{2 + \frac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}} = 0,
temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{4}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{4}{2 + 0} = 2.

Passo 4

O limite \lim_{n\to\infty}a_{n}=2 existe e é finito, portanto a sequência (a_{n}) é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 2.

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