As séries são séries de termos gerais envolvendo x^{n}. Vou assumir a soma começa em n=1 (padrão) — isso não altera os resultados de convergência.
O objetivo é determinar o conjunto de valores reais de x para os quais cada série converge (e, quando necessário, analisar os pontos com |x| igual ao raio de convergência).
Não há indicação de que x seja complexo, então vou tratar x como número real; os testes que usarei valem nesta situação.
Passo 2
Ferramenta principal que vou usar: o Teste da raiz (ou teste da razão) para séries de termos a_n. Vou explicar o Teste da raiz de forma simples e por que funciona aqui.
Enunciado do Teste da raiz:
Seja uma série \sum a_n com termos complexos (ou reais). Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1, a série converge absolutamente.
Se L>1, a série diverge (os termos não tendem a zero).
Se L=1, o teste é inconclusivo.
O que significa cada símbolo:
\sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do valor absoluto do termo a_n.
\limsup é o limite superior; para os nossos exemplos simples o limite existe e podemos usar \lim.
Exemplo de motivação: para a série geométrica \sum r^n tem-se \sqrt[n]{|r^n|}=|r|, então o teste diz que converge se |r|<1, diverge se |r|>1, que é o que a gente já conhece.
Vou aplicar esse teste às três séries. Quando o Teste da raiz der L=1 (caso limite), vou analisar os pontos finais |x|= \text{raio} com testes específicos (teste da série p, teste de Leibniz, verificação do limite dos termos).
Passo 3
Primeira série: \displaystyle\sum \frac{x^{n}}{n}.
Pelo Teste da raiz, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. Resta analisar os pontos |x|=1, ou seja x=1 e x=-1.
Passo 4
Análise dos pontos para a primeira série.
Caso x=1:
A série fica \displaystyle\sum \frac{1}{n}, que é a famosa série harmônica. Pelo teste da série p (veja explicação no Passo 6) com p=1, sabemos que \sum 1/n diverge. Logo em x=1 a série diverge.
Caso x=-1:
A série fica \displaystyle\sum \frac{(-1)^{n}}{n}. Esta é a série harmônica alternada (os termos em módulo são 1/n, que é uma sequência positiva decrescente e que tende a zero). Pelo Critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é uma sequência positiva, decrescente e b_n\to0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n satisfaz as hipóteses, então \sum (-1)^n/n converge. Contudo, a convergência não é absoluta porque \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge. Assim em x=-1 a série converge condicionalmente.
Resumo parcial (a guardar para a resposta final): a primeira série converge absolutamente para |x|<1, diverge para x=1, e converge condicionalmente em x=-1. Para |x|>1 diverge.
Passo 5
Segunda série: \displaystyle\sum \frac{x^{n}}{n^{2}}.
Pelo Teste da raiz, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. Novamente resta analisar os pontos x=1 e x=-1.
Passo 6
Análise dos pontos para a segunda série.
Caso x=1:
A série fica \displaystyle\sum \frac{1}{n^{2}}. Esta é uma série p com p=2. Resultado padrão: a série \sum 1/n^{p} converge se e somente se p>1. Como 2>1, a série converge. Na verdade converge absolutamente (os termos já são positivos).
Caso x=-1:
A série fica \displaystyle\sum \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}. Como \sum 1/n^{2} converge, a série com sinais alternados converge absolutamente também (convergência absoluta decorre de \sum |(-1)^n|/n^2=\sum 1/n^2 convergente). Logo em x=-1 converge (e é absoluta).
Portanto a segunda série converge para todos os x com |x|\le 1 e diverge para |x|>1.
Pelo Teste da raiz, a série converge absolutamente sempre que \left|\dfrac{x}{2}\right|<1, isto é, quando |x|<2; e diverge quando |x|>2. Resta verificar os casos |x|=2, isto é x=2 e x=-2.
Passo 8
Análise dos pontos para a terceira série.
Caso x=2:
O termo geral fica a_n = n\,(2/2)^n = n. Então os termos não tendem a zero; a série \sum n diverge claramente (termos crescem). Logo diverge em x=2.
Caso x=-2:
O termo geral fica a_n = n\,(-2/2)^n = n(-1)^n. Novamente os termos em módulo são n, que não tendem a zero; portanto a série não pode convergir (um requisito necessário para convergência é a_n\to0). Logo diverge em x=-2.
Conclusão: a terceira série converge somente para |x|<2 e diverge para |x|\ge 2.
Resposta
\displaystyle\sum \frac{x^{n}}{n} converge para |x|<1 (absolutamente) e também converge condicionalmente em x=-1; diverge em x=1 e em todo |x|>1.
\displaystyle\sum \frac{x^{n}}{n^{2}} converge para |x|\le 1 (convergência absoluta inclusive); diverge para |x|>1.
\displaystyle\sum \frac{n x^{n}}{2^{n}} converge para |x|<2 (absolutamente) e diverge para |x|\ge 2.