Prove que a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)} diverge, mas a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{r}}, com r>1 é convergente.

Passo 1

O enunciado nos pede mostrar que a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
diverge e que, para r>1, a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{r}}
é convergente. O conteúdo fundamental aqui é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Para aplicar o teste integral, definimos
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\quad x\ge2.
Observamos que f(x)>0 e que
f'(x) =-\frac{\ln x +1}{x^{2}(\ln x)^{2}}<0,
logo f é decrescente. Pelo teste integral, a série \sum_{n=2}^{\infty}f(n) converge ou diverge conforme a integral imprópria \displaystyle \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx
converge ou diverge.

Passo 3

Calculamos
\int_{2}^{N}\frac{dx}{x\ln x}.
Fazendo a substituição t=\ln x, dt=\tfrac{dx}{x}, obtemos
\int_{\ln2}^{\ln N}\frac{dt}{t} =\bigl[\ln t\bigr]_{\ln2}^{\ln N} =\ln(\ln N)-\ln(\ln2).
Quando N\to\infty, \ln(\ln N)\to\infty, então a integral diverge. Pelo teste integral, \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
também diverge.

Passo 4

Agora, para r>1, consideramos
f_{r}(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{r}}.
De novo, por t=\ln x e dt=\tfrac{dx}{x},
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{r}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{dt}{t^{r}}.
Como r>1, a integral \displaystyle \int_{\ln2}^{\infty}t^{-r}\,dt
é convergente, pois
\int_{\ln2}^{\infty}t^{-r}\,dt =\Bigl[\frac{t^{\,1-r}}{1-r}\Bigr]_{\ln2}^{\infty} =\frac{(\ln2)^{\,1-r}}{r-1}<\infty.
Assim, pelo teste integral, \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{r}}
converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n} diverge, e para qualquer r>1 a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{r}} é convergente.

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