Prove que a série
diverge, mas a série
, com
é convergente.
Passo 1
O enunciado nos pede mostrar que a série
diverge e que, para , a série
é convergente. O conteúdo fundamental aqui é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.
diverge e que, para
é convergente. O conteúdo fundamental aqui é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 2
Para aplicar o teste integral, definimos
Observamos que
e que
logo
é decrescente. Pelo teste integral, a série
converge ou diverge conforme a integral imprópria
converge ou diverge.
converge ou diverge.
Passo 3
Calculamos
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Quando
,
, então a integral diverge. Pelo teste integral,
também diverge.
também diverge.
Passo 4
Agora, para
, consideramos
De novo, por
e
,
Como
, a integral
é convergente, pois
é convergente, pois
Assim, pelo teste integral,
converge.
converge.
Resposta
A série
diverge, e para qualquer
a série
é convergente.