Prove que a série
diverge, mas a série
, com
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar dois fatos sobre séries de termos positivos envolvendo logaritmos:
- Que
diverge.
2. Que, para ,
2. Que, para
converge.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teste da Integral, que compara a convergência de com a de
sempre que
for contínua, positiva e decrescente para
.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teste da Integral, que compara a convergência de
Passo 2
Verificamos que as funções
são contínuas, positivas e decrescentes para
. (Basta notar que
e que sua derivada é negativa nessa região.)
Passo 3
Aplicando o Teste da Integral à série
, consideramos
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Logo
Passo 4
Como o integral diverge, o Teste da Integral implica que
também diverge.
Passo 5
Para
, aplicamos o mesmo teste à série
. Examinamos o integral
Passo 6
Como
, temos
e portanto
é finito. Logo o integral converge, e pelo Teste da Integral a série
converge.
Resposta
A série
diverge, e para todo
a série
converge.