Prove que a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)} diverge, mas a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{r}}, com r>1 é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar dois fatos sobre séries de termos positivos envolvendo logaritmos:
  1. Que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)}
diverge.
2. Que, para r>1,
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,(\ln(n))^{r}}
converge.
O conteúdo principal que vamos usar é o Teste da Integral, que compara a convergência de \sum f(n) com a de \int f(x)\,dx sempre que f for contínua, positiva e decrescente para x\ge2.

Passo 2

Verificamos que as funções
f(x)=\frac{1}{x\,\ln(x)} \quad\text{e}\quad f_{r}(x)=\frac{1}{x\,(\ln(x))^{r}}
são contínuas, positivas e decrescentes para x\ge2. (Basta notar que \ln(x)>0 e que sua derivada é negativa nessa região.)

Passo 3

Aplicando o Teste da Integral à série \sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln(n)), consideramos
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx.
Fazemos a substituição u=\ln(x), de modo que du=dx/x. Quando x\to2, u\to\ln(2); quando x\to\infty, u\to\infty. Logo

Passo 4

\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \int_{\ln(2)}^{\infty}\frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln(u)\bigr]_{\ln(2)}^{\infty} = \lim_{U\to\infty}\ln(U)-\ln\bigl(\ln(2)\bigr) = \infty.
Como o integral diverge, o Teste da Integral implica que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)}
também diverge.

Passo 5

Para r>1, aplicamos o mesmo teste à série \sum_{n=2}^{\infty}1/(n(\ln(n))^{r}). Examinamos o integral

Passo 6

\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\,(\ln(x))^{r}}\,dx = \int_{\ln(2)}^{\infty}u^{-r}\,du = \biggl[\frac{u^{-r+1}}{-r+1}\biggr]_{\ln(2)}^{\infty}.
Como r>1, temos -r+1<0 e portanto
\lim_{U\to\infty}\frac{U^{-r+1}}{-r+1}=0 \quad\text{e}\quad \frac{(\ln(2))^{-r+1}}{-r+1}
é finito. Logo o integral converge, e pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,(\ln(n))^{r}}
converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)} diverge, e para todo r>1 a série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,(\ln(n))^{r}} converge.

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