Prove que o sistema é completamente controlável ao se considerar cada sinal de entrada separadamente.
Passo 1
Beleza, primeiro vamos entender o que o enunciado pede. A gente tem um sistema linear do tipo
\dot x = A x + B_1 u_1 + B_2 u_2
onde e há dois sinais de entrada
e
. O objetivo é mostrar que esse sistema é completamente controlável mesmo se a gente olhar só para
sozinho e só para
sozinho.
Conteúdo: teoria de controlabilidade de sistemas lineares contínuos.
O que vamos usar:
\dot x = A x + B_1 u_1 + B_2 u_2
onde
Conteúdo: teoria de controlabilidade de sistemas lineares contínuos.
O que vamos usar:
- Definição de controlabilidade (Critério de Kalman)
- Propriedade de posto (rank) de matrizes concatenadas
Passo 2
Antes de mais nada, o que significa “sistema controlável”?
Para um par , dizemos que ele é controlável se a matriz de controlabilidade
Para um par
tem posto (rank) igual a
. Isso é o famoso Critério de Kalman. Se , a gente consegue levar
de qualquer ponto inicial a qualquer ponto final em tempo finito, usando o sinal de entrada adequado.
Passo 3
Agora, o enunciado diz que, isoladamente, cada canal é controlável. Ou seja,
e .
Isso quer dizer que com sozinho eu já posso “mexer” em todas as direções de
, e o mesmo vale para
.
e .
Isso quer dizer que com
Passo 4
Vamos montar a matriz de controlabilidade do sistema com os dois sinais juntos. Como a gente tem duas entradas, a matriz fica
Repare que isso é só concatenar as colunas de
e
.
Teoria de posto: se duas matrizes têm cada uma posto
, então a matriz que junta as colunas de ambas também tem posto
(porque cada uma já “gerava” todo
). Logo
Passo 5
Como a matriz de controlabilidade completa tem posto
, pelo Critério de Kalman o sistema
é completamente controlável.
Resposta
Como isoladamente e , a concatenação das duas matrizes de controlabilidade também tem posto
. Portanto, o sistema com as duas entradas é totalmente controlável.