Prove que o sistema é completamente controlável ao se considerar cada sinal de entrada separadamente.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que o enunciado pede. A gente tem um sistema linear do tipo
\dot x = A x + B_1 u_1 + B_2 u_2
onde e há dois sinais de entrada e . O objetivo é mostrar que esse sistema é completamente controlável mesmo se a gente olhar só para sozinho e só para sozinho.
Conteúdo: teoria de controlabilidade de sistemas lineares contínuos.
O que vamos usar:
  • Definição de controlabilidade (Critério de Kalman)
  • Propriedade de posto (rank) de matrizes concatenadas

Passo 2

Antes de mais nada, o que significa “sistema controlável”?
Para um par C(A,B) ;=; [,B;; A,B;; A^2 B;dots;A^n-1B,] , dizemos que ele é controlável se a matriz de controlabilidade
tem posto (rank) igual a . Isso é o famoso Critério de Kalman. Se , a gente consegue levar de qualquer ponto inicial a qualquer ponto final em tempo finito, usando o sinal de entrada adequado.

Passo 3

Agora, o enunciado diz que, isoladamente, cada canal é controlável. Ou seja,
e .
Isso quer dizer que com sozinho eu já posso “mexer” em todas as direções de , e o mesmo vale para .

Passo 4

Vamos montar a matriz de controlabilidade do sistema com os dois sinais juntos. Como a gente tem duas entradas, a matriz fica
Cl(A,[B1;B2]r) =l[,B1;;A,B1;dots;A^n-1B1;;B2;;A,B2;dots;A^n-1B2,r]
Repare que isso é só concatenar as colunas de rank Cl(A,[B1;B2]r) ;=; n e .
Teoria de posto: se duas matrizes têm cada uma posto , então a matriz que junta as colunas de ambas também tem posto (porque cada uma já “gerava” todo ). Logo

Passo 5

Como a matriz de controlabilidade completa tem posto dot x = A,x + [B1;B2]u1u2 , pelo Critério de Kalman o sistema
é completamente controlável.

Resposta

Como isoladamente e , a concatenação das duas matrizes de controlabilidade também tem posto . Portanto, o sistema com as duas entradas é totalmente controlável.

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