Projetar um controlador utilizando alocação de pólos por realimentação de estados que faça com que as saídas
e
sigam sinais de referência do tipo onda quadrada com frequência próxima a 1 Hz o mais rápido possível, dentro dos limites físicos, sem saturação
e apresentem erro nulo em regime permanente. Disserte sobre a abordagem adotada para o controle.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra projetar um controlador por realimentação de estados (alocação de polos) de modo que as duas saídas
e
sigam uma onda quadrada de 1 Hz o mais rápido possível, sem ultrapassar
V e com erro zero em regime permanente.
Conteúdo: controle em espaço de estados, princípio do modelo interno (integradores para erro zero) e alocação de polos. Vamos precisar:
Conteúdo: controle em espaço de estados, princípio do modelo interno (integradores para erro zero) e alocação de polos. Vamos precisar:
- Modelo de estado
. - Adicionar integradores para eliminar erro DC.
- Escolher polos desejados (rapidez x limites de saturação).
- Calcular o ganho
via alocação de polos.
Passo 2
Primeiro, estendemos o sistema para incluir erro integrado. Supondo o modelo original
definimos o vetor de estados integrados
logo
O sistema “aumentado” fica
[
\underbrace{
}{A\mathrm{aug}}
+
+
\underbrace{
}{B\mathrm{aug}}u
+
+
\underbrace{
}{E\mathrm{aug}}r.
]
]
A ideia é escolher
de modo que o erro integrador z force erro zero em regime.
Passo 3
Agora, definimos os polos desejados. Como queremos acompanhamento de onda quadrada de 1 Hz (período
s), a banda deve ser algumas vezes maior que
rad/s para resposta rápida. Por exemplo, escolhemos polos reais bem à esquerda:
sendo dois polos lentos (−2,−4) associados aos integradores e os demais para o estado original. Esses valores equilibram rapidez e evitam comandos muito altos (saturação).
Passo 4
Com os polos fixados, usamos um comando de alocação de polos (por exemplo, em MATLAB:
“
ou pela fórmula de Ackermann, e achamos o vetor de ganhos
“
K_aug = place(A_aug, B_aug, desired_poles); “
)ou pela fórmula de Ackermann, e achamos o vetor de ganhos
onde
realimenta os estados e
realimenta os erros integrados.
Passo 5
Por fim, verificamos no simulador se o controle não leva
para além de
V. Se houver saturação, “afastamos” um pouco os polos (colocamos menos agressivos, ex.: −6,−8 em vez de −10,−12) até garantir
V.
Resposta
O controlador fica
onde
e
vêm da alocação de polos do sistema aumentado com polos em, por exemplo,
.
Abordagem adotada:
Abordagem adotada:
- Expandimos o modelo com integradores do erro para garantir erro zero em DC (princípio do modelo interno).
- Escolhemos polos rápidos o bastante para 1 Hz sem gerar comandos acima de
V. - Calculamos
por alocação de polos, ajustamos se necessário para evitar saturação. - Resultado: acompanhamento de onda quadrada de 1 Hz rápido e sem erro em regime permanente.