Projetar um controlador utilizando alocação de pólos por realimentação de estados que faça com que as saídas vo 1(t) e vo 2(t) sigam sinais de referência do tipo onda quadrada com frequência próxima a 1 Hz o mais rápido possível, dentro dos limites físicos, sem saturação ( pm 12 V) e apresentem erro nulo em regime permanente. Disserte sobre a abordagem adotada para o controle.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra projetar um controlador por realimentação de estados (alocação de polos) de modo que as duas saídas e sigam uma onda quadrada de 1 Hz o mais rápido possível, sem ultrapassar V e com erro zero em regime permanente.
Conteúdo: controle em espaço de estados, princípio do modelo interno (integradores para erro zero) e alocação de polos. Vamos precisar:
  • Modelo de estado .
  • Adicionar integradores para eliminar erro DC.
  • Escolher polos desejados (rapidez x limites de saturação).
  • Calcular o ganho via alocação de polos.

Passo 2

Primeiro, estendemos o sistema para incluir erro integrado. Supondo o modelo original
dot x = A,x + B,u, y = C,x
definimos o vetor de estados integrados
z = integral (r - y),dt,
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dot z = r - Cx
O sistema “aumentado” fica
[
dot x[3pt]dot z = underbraceA & 0[3pt]-C & 0Aaug x z + underbraceB[3pt]0Baugu + underbrace0[3pt]IEaugr

\underbrace{ u = -Kaug x z, }{A\mathrm{aug}}

+
\underbrace{ }{B\mathrm{aug}}u
+
\underbrace{ }{E\mathrm{aug}}r.
]
A ideia é escolher
de modo que o erro integrador z force erro zero em regime.

Passo 3

Agora, definimos os polos desejados. Como queremos acompanhamento de onda quadrada de 1 Hz (período -8,,-10,,-12,,-14,,-2,,-4, s), a banda deve ser algumas vezes maior que rad/s para resposta rápida. Por exemplo, escolhemos polos reais bem à esquerda:
sendo dois polos lentos (−2,−4) associados aos integradores e os demais para o estado original. Esses valores equilibram rapidez e evitam comandos muito altos (saturação).

Passo 4

Com os polos fixados, usamos um comando de alocação de polos (por exemplo, em MATLAB:
K_aug = place(A_aug, B_aug, desired_poles); “)
ou pela fórmula de Ackermann, e achamos o vetor de ganhos
Kaug = l[Kx;;Kzr],
onde realimenta os estados e realimenta os erros integrados.

Passo 5

Por fim, verificamos no simulador se o controle não leva para além de V. Se houver saturação, “afastamos” um pouco os polos (colocamos menos agressivos, ex.: −6,−8 em vez de −10,−12) até garantir V.

Resposta

O controlador fica
u(t) ;=;-Kx,x(t);-;Kz,z(t),
onde e vêm da alocação de polos do sistema aumentado com polos em, por exemplo, .
Abordagem adotada:
  1. Expandimos o modelo com integradores do erro para garantir erro zero em DC (princípio do modelo interno).
  2. Escolhemos polos rápidos o bastante para 1 Hz sem gerar comandos acima de V.
  3. Calculamos por alocação de polos, ajustamos se necessário para evitar saturação.
  4. Resultado: acompanhamento de onda quadrada de 1 Hz rápido e sem erro em regime permanente.

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