Prove que para um sistema de worlenadas ortogonal temos g_{12}=g_{23}=g_{31}=0.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Provar que, em um sistema de coordenadas ortogonal, vale \,g_{12}=g_{23}=g_{31}=0.
Informações e notações que temos (todas retiradas do enunciado implícito de um sistema de coordenadas curvilíneas):
  • A posição de um ponto no espaço é dada por \mathbf{r}=\mathbf{r}(u^{1},u^{2},u^{3}), onde u^{1},u^{2},u^{3} são as coordenadas curvilíneas.
  • As bases tangentes naturais associadas às coordenadas são definidas por derivadas parciais: \mathbf{e}_{i} \equiv \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u^{i}},\qquad i=1,2,3.
  • O elemento de métrica (tensor métrico em coordenadas curvilíneas) tem componentes definidas pelo produto escalar das bases: g_{ij} \equiv \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j},\qquad i,j=1,2,3.
  • O enunciado diz que as coordenadas são ortogonais (é a condição a ser usada na prova).

Passo 2

Entender precisamente o que significa “coordenadas ortogonais” (essa é a peça-chave).
  • Dizer que as coordenadas u^{1},u^{2},u^{3} formam um sistema ortogonal significa que, em cada ponto, as linhas de coordenadas (ou curvas geradas mantendo duas coordenadas fixas e variando a terceira) se cruzam em ângulo reto.
  • Em termos das bases tangentes \mathbf{e}_{i}, essa condição se escreve como: \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=0\quad\text{sempre que }i\neq j.
  • Ou seja: cada par distinto de vetores de base é ortogonal.

Passo 3

Ligar essa definição com a definição do tensor métrico que aparece no enunciado.
  • Pela definição do tensor métrico em coordenadas curvilíneas temos, para quaisquer índices i,j, g_{ij}=\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}.
  • Portanto, se a condição de ortogonalidade diz que \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=0 para i\neq j, então automaticamente os componentes fora da diagonal do tensor métrico são nulos: g_{ij}=0\quad\text{para }i\neq j.

Passo 4

Aplicação direta aos índices pedidos no enunciado.
  • Para os pares (1,2), (2,3) e (3,1) temos i\neq j, então pela relação acima: g_{12}=\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}=0,
g_{23}=\mathbf{e}_{2}\cdot\mathbf{e}_{3}=0,
g_{31}=\mathbf{e}_{3}\cdot\mathbf{e}_{1}=0.
  • Estas igualdades são exatamente o que o problema pedia para provar.

Passo 5

Contexto e interpretação prática (uma mini-aula, para você usar na prova).
  • Em muitas provas pedem para mostrar isso lembrando que, em coordenadas ortogonais, costuma-se definir os fatores de escala (os “scale factors”) h_{i} por h_{i}\equiv\|\mathbf{e}_{i}\|=\sqrt{\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{i}},de modo que os elementos da diagonal do métrico são g_{ii}=h_{i}^{2}.
  • Assim o tensor métrico em coordenadas ortogonais tem forma diagonal: [g_{ij}] = \operatorname{diag}\big(h_{1}^{2},\,h_{2}^{2},\,h_{3}^{2}\big),e todos os elementos fora da diagonal são zero. Exemplos clássicos:
    • Coordenadas cartesianas: h_{1}=h_{2}=h_{3}=1, logo g_{ij}=\delta_{ij}.
    • Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z): h_{r}=1,\;h_{\theta}=r,\;h_{z}=1, logo g_{\theta r}=0 etc.
    • Coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi): h_{r}=1,\;h_{\theta}=r,\;h_{\varphi}=r\sin\theta, também com métrica diagonal.

Passo 6

Resumo rápido de “como provar na prova” (passo a passo curtinho que dá ponto fácil):
  • Escreva \mathbf{e}_{i}=\partial\mathbf{r}/\partial u^{i}.
  • Use a definição g_{ij}=\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}.
  • Invoca a hipótese: em sistema ortogonal \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=0 para i\neq j.
  • Conclui g_{12}=g_{23}=g_{31}=0.

Resposta

g_{12}=g_{23}=g_{31}=0

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