Prove que para um sistema de worlenadas ortogonal temos
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Provar que, em um sistema de coordenadas ortogonal, vale
.
Informações e notações que temos (todas retiradas do enunciado implícito de um sistema de coordenadas curvilíneas):
- A posição de um ponto no espaço é dada por
, onde são as coordenadas curvilíneas. - As bases tangentes naturais associadas às coordenadas são definidas por derivadas parciais:
- O elemento de métrica (tensor métrico em coordenadas curvilíneas) tem componentes definidas pelo produto escalar das bases:
- O enunciado diz que as coordenadas são ortogonais (é a condição a ser usada na prova).
Passo 2
Entender precisamente o que significa “coordenadas ortogonais” (essa é a peça-chave).
- Dizer que as coordenadas
formam um sistema ortogonal significa que, em cada ponto, as linhas de coordenadas (ou curvas geradas mantendo duas coordenadas fixas e variando a terceira) se cruzam em ângulo reto. - Em termos das bases tangentes
, essa condição se escreve como: - Ou seja: cada par distinto de vetores de base é ortogonal.
Passo 3
Ligar essa definição com a definição do tensor métrico que aparece no enunciado.
- Pela definição do tensor métrico em coordenadas curvilíneas temos, para quaisquer índices
, - Portanto, se a condição de ortogonalidade diz que
para , então automaticamente os componentes fora da diagonal do tensor métrico são nulos:
Passo 4
Aplicação direta aos índices pedidos no enunciado.
- Para os pares
, e temos , então pela relação acima:
- Estas igualdades são exatamente o que o problema pedia para provar.
Passo 5
Contexto e interpretação prática (uma mini-aula, para você usar na prova).
- Em muitas provas pedem para mostrar isso lembrando que, em coordenadas ortogonais, costuma-se definir os fatores de escala (os “scale factors”)
por de modo que os elementos da diagonal do métrico são . - Assim o tensor métrico em coordenadas ortogonais tem forma diagonal:
e todos os elementos fora da diagonal são zero. Exemplos clássicos: - Coordenadas cartesianas:
, logo . - Coordenadas cilíndricas
: , logo etc. - Coordenadas esféricas
: , também com métrica diagonal.
- Coordenadas cartesianas:
Passo 6
Resumo rápido de “como provar na prova” (passo a passo curtinho que dá ponto fácil):
- Escreva
. - Use a definição
. - Invoca a hipótese: em sistema ortogonal
para . - Conclui
.