Questão 2) Calcular a transformada de Laplace inversa:
L^{-1}\left\{f(t)\right\}=\frac{2 s-3}{s^{2}+2 s+10}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional dada. Informações fornecidas:
  • A função no domínio de s é \displaystyle \frac{2 s-3}{s^{2}+2 s+10}.
  • A operação requerida é L^{-1}\{\cdot\}, ou seja, encontrar uma função de t cuja transformada de Laplace é essa expressão.
  • Observações úteis que vêm do enunciado (sem resolver ainda): o numerador tem grau menor que o denominador; o denominador é um polinômio quadrático.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a forma do denominador completando o quadrado para identificarmos padrões conhecidos. Calcula-se:
s^{2}+2s+10 = (s^{2}+2s+1) + 9 = (s+1)^{2} + 9.
Explicação didática: completar o quadrado é uma técnica para reescrever s^{2}+2s+10 como (s+a)^{2}+b^{2}, o que facilita comparar com fórmulas padrão de transformadas que envolvem (s+a)^{2}+b^{2}. Aqui obtivemos (s+1)^{2}+3^{2}.

Passo 3

Agora reescrevemos o numerador para envolver o termo (s+1), assim conseguimos separar em termos que correspondem a cosseno e seno multiplicados por exponencial. Fazemos:
2s-3 = 2(s+1) -5.
Portanto a função pode ser escrita como soma/diferença de duas frações:
\frac{2s-3}{s^{2}+2s+10} = \frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+9} \;-\; \frac{5}{(s+1)^{2}+9}.
Didática: aqui usamos a linearidade da transformada inversa — a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas — então podemos tratar cada parcela separadamente.

Passo 4

Lembrete das fórmulas padrão (essas são as ferramentas que vamos aplicar). Para a,b>0 vale:
L\{e^{-a t}\cos(bt)\} = \frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \qquad L\{e^{-a t}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Explicação das variáveis: em e^{-a t}\cos(bt), a é a constante associada ao deslocamento em s (shifting em s) e b é a frequência do seno/cosseno; no lado de s, aparecem (s+a) e b conforme as fórmulas acima. Para inverter, reconhecemos termos da forma \dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e \dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}} e aplicamos as correspondentes inversas:
L^{-1}\!\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\cos(bt), \qquad L^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\sin(bt).

Passo 5

Comparando com nossas parcelas temos a=1 e b=3 (pois o denominador é (s+1)^{2}+3^{2}). Trate a primeira parcela:
\frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+9} = 2\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}.
Usando a fórmula, a inversa é
L^{-1}\!\left\{2\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}\right\} = 2\,e^{-t}\cos(3t).
Explicação didática: multiplicar por 2 fora da fração corresponde a multiplicar o resultado por 2 após a inversão, por linearidade.

Passo 6

Agora a segunda parcela:
\frac{5}{(s+1)^{2}+9} = \frac{5}{3}\cdot\frac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}}.
Pela fórmula para seno, \dfrac{3}{(s+1)^{2}+3^{2}} corresponde a L\{e^{-t}\sin(3t)\}. Portanto
L^{-1}\!\left\{\frac{5}{(s+1)^{2}+9}\right\} = \frac{5}{3}\,e^{-t}\sin(3t).
Como na soma original essa parcela entrou com sinal negativo (veja Passo 3), a contribuição final dessa parcela é -\dfrac{5}{3}\,e^{-t}\sin(3t).

Passo 7

Somando as duas contribuições (pela linearidade) obtemos a função no domínio do tempo:
f(t) = 2\,e^{-t}\cos(3t) \;-\; \frac{5}{3}\,e^{-t}\sin(3t).
Podemos fatorar e^{-t} se quisermos:
f(t) = e^{-t}\!\left(2\cos(3t) - \frac{5}{3}\sin(3t)\right).

Resposta

f(t)=2\,e^{-t}\cos(3t)-\frac{5}{3}\,e^{-t}\sin(3t)

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