Questão 2) Calcular a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional dada. Informações fornecidas:
- A função no domínio de
é . - A operação requerida é
, ou seja, encontrar uma função de cuja transformada de Laplace é essa expressão. - Observações úteis que vêm do enunciado (sem resolver ainda): o numerador tem grau menor que o denominador; o denominador é um polinômio quadrático.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a forma do denominador completando o quadrado para identificarmos padrões conhecidos. Calcula-se:
Explicação didática: completar o quadrado é uma técnica para reescrever
como
, o que facilita comparar com fórmulas padrão de transformadas que envolvem
. Aqui obtivemos
.
Passo 3
Agora reescrevemos o numerador para envolver o termo
, assim conseguimos separar em termos que correspondem a cosseno e seno multiplicados por exponencial. Fazemos:
Portanto a função pode ser escrita como soma/diferença de duas frações:
Didática: aqui usamos a linearidade da transformada inversa — a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas — então podemos tratar cada parcela separadamente.
Passo 4
Lembrete das fórmulas padrão (essas são as ferramentas que vamos aplicar). Para
vale:
Explicação das variáveis: em
,
é a constante associada ao deslocamento em
(shifting em
) e
é a frequência do seno/cosseno; no lado de
, aparecem
e
conforme as fórmulas acima. Para inverter, reconhecemos termos da forma
e
e aplicamos as correspondentes inversas:
Passo 5
Comparando com nossas parcelas temos
e
(pois o denominador é
). Trate a primeira parcela:
Usando a fórmula, a inversa é
Explicação didática: multiplicar por
fora da fração corresponde a multiplicar o resultado por
após a inversão, por linearidade.
Passo 6
Agora a segunda parcela:
Pela fórmula para seno,
corresponde a
. Portanto
Como na soma original essa parcela entrou com sinal negativo (veja Passo 3), a contribuição final dessa parcela é
.
Passo 7
Somando as duas contribuições (pela linearidade) obtemos a função no domínio do tempo:
Podemos fatorar
se quisermos: