(pts) Calcule o seguinte limite.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações diretas:
- A expressão é a diferença de duas frações racionais.
- Os denominadores são
e . - Ao substituir
diretamente, ambos os denominadores ficam iguais a zero: - Portanto a expressão está numa forma indeterminada ou pode divergir quando
. O que o enunciado pede é o comportamento da expressão quando se aproxima de .
Passo 2
Vamos fatorar os polinômios do denominador para ver se há cancelamentos. Primeiro:
Explicando: é um quadrado perfeito pois
.
Passo 3
Agora fatorar o numerador da primeira fração:
Isso mostra que a primeira fração pode ser simplificada (quando
).
Passo 4
Simplificando a primeira fração (válido para
):
Comentário didático: ao dividir
por
sobra
. Sempre lembrar que essa igualdade vale somente para
(no ponto
a expressão original não está definida).
Passo 5
Fatorar o segundo denominador:
Portanto a segunda fração é
Passo 6
Reescrever a expressão original usando as formas fatoradas:
Para somar/subtrair frações, colocamos o mesmo denominador: um denominador comum é
.
Passo 7
Passo a passo do somador com denominador comum:
- Transformar
para ter denominador multiplicando numerador e denominador por : - Agora subtrair:
Passo 8
Calcular o numerador resultante:
Logo a expressão simplificada (para
) é
Passo 9
Agora vamos estudar o limite
Explicando a estratégia: o numerador é constante
e o denominador
tende a
quando
. Quando temos uma constante dividido por algo que tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo; o sinal depende do sinal do denominador próximo de
. Portanto precisamos analisar os limites laterais (pela direita e pela esquerda).
Passo 10
Limite pela direita (
): escreva
com
. Então
e
, logo
e muito pequeno. Assim
Passo 11
Limite pela esquerda (
): escreva
com
. Então
e
, logo
e muito pequeno em valor absoluto. Então
Passo 12
Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais são diferentes (pela direita vale
e pela esquerda vale
), o limite bilateral quando
não existe como número real e, na verdade, não existe nem como infinito único. Ou seja, o limite por
não existe.
Resposta
O limite não existe.
Limite pela direita: .
Limite pela esquerda: .
Limite pela direita:
Limite pela esquerda: