{ }^{6} (pts) Calcule o seguinte limite.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-3}{x^{2}-2 x+1}-\frac{3 x+2}{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{3x-3}{x^{2}-2x+1}-\frac{3x+2}{x^{2}-x}.
Informações dadas e observações diretas:
  • A expressão é a diferença de duas frações racionais.
  • Os denominadores são x^{2}-2x+1 e x^{2}-x.
  • Ao substituir x=1 diretamente, ambos os denominadores ficam iguais a zero: 1^{2}-2\cdot1+1=0,\qquad 1^{2}-1=0.
  • Portanto a expressão está numa forma indeterminada ou pode divergir quando x\to1. O que o enunciado pede é o comportamento da expressão quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Vamos fatorar os polinômios do denominador para ver se há cancelamentos. Primeiro:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Explicando: é um quadrado perfeito pois x^{2}-2x+1=x^{2}-2\cdot x\cdot1+1^{2}=(x-1)^{2}.

Passo 3

Agora fatorar o numerador da primeira fração:
3x-3=3(x-1).
Isso mostra que a primeira fração pode ser simplificada (quando x\neq1).

Passo 4

Simplificando a primeira fração (válido para x\neq1):
\frac{3x-3}{x^{2}-2x+1}=\frac{3(x-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{3}{x-1}.
Comentário didático: ao dividir (x-1) por (x-1)^{2} sobra 1/(x-1). Sempre lembrar que essa igualdade vale somente para x\neq1 (no ponto x=1 a expressão original não está definida).

Passo 5

Fatorar o segundo denominador:
x^{2}-x=x(x-1).
Portanto a segunda fração é
\frac{3x+2}{x^{2}-x}=\frac{3x+2}{x(x-1)}.

Passo 6

Reescrever a expressão original usando as formas fatoradas:
\frac{3}{x-1}-\frac{3x+2}{x(x-1)}.
Para somar/subtrair frações, colocamos o mesmo denominador: um denominador comum é x(x-1).

Passo 7

Passo a passo do somador com denominador comum:
  • Transformar \dfrac{3}{x-1} para ter denominador x(x-1) multiplicando numerador e denominador por x: \frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x(x-1)}.
  • Agora subtrair: \frac{3x}{x(x-1)}-\frac{3x+2}{x(x-1)}=\frac{3x-(3x+2)}{x(x-1)}.

Passo 8

Calcular o numerador resultante:
3x-(3x+2)=3x-3x-2=-2.
Logo a expressão simplificada (para x\neq1) é
\frac{-2}{x(x-1)}.

Passo 9

Agora vamos estudar o limite
\lim_{x\to1}\frac{-2}{x(x-1)}.
Explicando a estratégia: o numerador é constante -2 e o denominador x(x-1) tende a 1\cdot0=0 quando x\to1. Quando temos uma constante dividido por algo que tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo; o sinal depende do sinal do denominador próximo de 1. Portanto precisamos analisar os limites laterais (pela direita e pela esquerda).

Passo 10

Limite pela direita ( x\to1^{+}): escreva x=1+h com h\to0^{+}. Então x-1=h>0 e x\approx1>0, logo x(x-1)>0 e muito pequeno. Assim
\frac{-2}{x(x-1)}\to -\infty\quad\text{quando }x\to1^{+}.

Passo 11

Limite pela esquerda ( x\to1^{-}): escreva x=1+h com h\to0^{-}. Então x-1=h<0 e x\approx1>0, logo x(x-1)<0 e muito pequeno em valor absoluto. Então
\frac{-2}{x(x-1)}\to +\infty\quad\text{quando }x\to1^{-}.

Passo 12

Conclusão sobre o limite bilateral: como os limites laterais são diferentes (pela direita vale -\infty e pela esquerda vale +\infty), o limite bilateral quando x\to1 não existe como número real e, na verdade, não existe nem como infinito único. Ou seja, o limite por x\to1 não existe.

Resposta

O limite não existe.
Limite pela direita: -\infty.
Limite pela esquerda: +\infty.

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