e queremos a família de soluções \mathbf{X}(t) que satisfaz \mathbf{X}'=A\mathbf{X} para todo t.]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem nomes técnicos complicados): para um sistema linear homogêneo \mathbf{X}'=A\mathbf{X}, uma maneira prática de construir soluções é procurar vetores \mathbf{v}\neq\mathbf{0} e escalares \lambda tais que A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. Esses pares (\lambda,\mathbf{v}) são chamados de autovalores e autovetores. Sempre que encontrarmos um autovalor \lambda com autovetor \mathbf{v}, a função \mathbf{X}(t)=\mathbf{v}\,e^{\lambda t} é uma solução do sistema. Se a matriz A tiver três autovalores distintos (no nosso caso, é uma matriz 3\times3), então as três soluções correspondentes dão uma base de soluções e a solução geral é combinação linear delas. Vou seguir esse caminho: calcular o polinômio característico de A, achar os autovalores, encontrar autovetores associados e montar a combinação linear.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevo A-\lambda I e calculo o determinante por expansão na primeira linha:
Para fatorar mais facilmente multiplico por -1 (isso não muda as raízes):
\lambda^3-7\lambda-6=0.]
Passo 4
Agora resolvo \lambda^3-7\lambda-6=0. Tento raízes inteiras candidatas \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Testo \lambda=3:
3^3-7\cdot 3-6 =27-21-6=0,
logo \lambda=3 é raiz. Faço divisão polinomial para reduzir:
dividindo \lambda^3+0\lambda^2-7\lambda-6 por \lambda-3 obtenho o quociente \lambda^2+3\lambda+2. Assim
Agora que tenho três autovalores distintos \lambda_1=3,\lambda_2=-1,\lambda_3=-2 com autovetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 linearmente independentes, concluo que a solução geral do sistema é combinação linear das soluções básicas \mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}. Escrevo explicitamente: