Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: "Faça um esboço do gráfico da função
".
Informações dadas no enunciado: a expressão explícita da função .
Pergunta a responder: desenhar (esboçar) o gráfico e, na prática, identificar domínio, imagem, pontos importantes e comportamento do gráfico para poder traçá‑lo.
Informações dadas no enunciado: a expressão explícita da função
Pergunta a responder: desenhar (esboçar) o gráfico e, na prática, identificar domínio, imagem, pontos importantes e comportamento do gráfico para poder traçá‑lo.
Passo 2
Encontrar o domínio — por que isso importa e como fazer: dentro de uma raiz quadrada só podemos ter radicando maior ou igual a zero. Aplicando isso à nossa função temos
Resolvendo,
Portanto o domínio é
. Isso significa que o gráfico começa em
e não existe para
.
Passo 3
Entender a função como transformações da função base
— isso facilita o esboço. Vou explicar passo a passo cada transformação e o efeito sobre pontos:
- Começo com
. - Troco
por para obter . Isso é uma translação horizontal de 1 unidade para a esquerda: todo ponto de vira . - Multiplico por 2:
. Isso estica verticalmente por fator 2: todo dobra. - Somo 1:
. Isso desloca o gráfico 1 unidade para cima.
Usando essa sequência, se eu pegar pontos conhecidos de
, por exemplo os pontos cujas abscissas são
(porque
), eu transformo cada um para obter pontos de
:
- Para
: começa em → shift left → → stretch → → up → . - Para
: → → → . - Para
: → → → . - Para
: → → → .
Assim temos pontos úteis para plotar:
.
Passo 4
Calcular interceptos e valores notáveis:
- Intercepto em
(quando ):
então o ponto é
— já encontrado acima.
- Intercepto em
: resolver . Subtraindo 1 e dividindo por 2 dá , impossível porque a raiz quadrada é sempre . Logo não há intercepto em . - Ponto inicial (extremo esquerdo do domínio): para
,
ponto inicial é
. Esse ponto pertence ao gráfico (ponto fechado).
Passo 5
Estudar monotonicidade e concavidade de forma rápida (isso ajuda no formato do esboço):
Calculo a derivada para ver se a função cresce ou decresce:
Calculo a derivada para ver se a função cresce ou decresce:
Como para todo
temos
(estritamente
para
), segue que
em
. Portanto a função é estritamente crescente no seu domínio. Observação importante: em
a derivada tende para
(porque
), o que indica uma tangente vertical (o gráfico “parte” bem íngreme no ponto inicial).
Agora a segunda derivada para ver concavidade:
Agora a segunda derivada para ver concavidade:
Logo o gráfico é côncavo para baixo (concavidade negativa) em todo o domínio aberto.
Resumo do comportamento: começa em
com tangente muito íngreme, cresce para a direita, vai ficando cada vez mais “achatado” (declive diminuindo), e é sempre côncavo para baixo.
Passo 6
Instruções práticas para esboçar (passo a passo para você fazer na prova, sem calcadora):
- Desenhe os eixos coordenados e marque
no eixo e no eixo . - Marque o ponto inicial
com um ponto cheio. - Marque os pontos
e opcionalmente para dar referência de forma (esses valores foram calculados no Passo 3). - Lembre que não há intercepto em
e que a curva é sempre crescente e côncava para baixo. - Trace uma curva suave ligando esses pontos, saindo íngreme em
e achatando conforme avança para a direita. - Coloque uma seta para a direita indicando que o gráfico continua indefinidamente para
.
Passo 7
Recapitulação curta e incentivo: então, para esboçar basta usar o ponto inicial
, os pontos de apoio
, lembrar que a curva é crescente e côncava para baixo, sem corte em
. Você já tem todos os elementos para desenhar um esboço correto — vai com calma, marque os pontos e ligue com uma curva suave. Você está indo bem!
Resposta
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Pontos importantes:
Intercepto em :
— não há intercepto em
Monotonicidade: estritamente crescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Esboço: curva começando em , muito íngreme no começo, passando por
e achatando para a direita, sem cruzar o eixo
.
Imagem (contradomínio efetivo):
Pontos importantes:
Intercepto em
Monotonicidade: estritamente crescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Esboço: curva começando em