Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
k(x)=2 \sqrt{x+1}+1.

Passo 1

O enunciado pede: "Faça um esboço do gráfico da função \,k(x)=2\sqrt{x+1}+1\,".
Informações dadas no enunciado: a expressão explícita da função \,k(x)=2\sqrt{x+1}+1\,.
Pergunta a responder: desenhar (esboçar) o gráfico e, na prática, identificar domínio, imagem, pontos importantes e comportamento do gráfico para poder traçá‑lo.

Passo 2

Encontrar o domínio — por que isso importa e como fazer: dentro de uma raiz quadrada só podemos ter radicando maior ou igual a zero. Aplicando isso à nossa função temos
x+1 \ge 0.
Resolvendo,
x \ge -1.
Portanto o domínio é \,[-1,\infty)\,. Isso significa que o gráfico começa em x=-1 e não existe para x<-1.

Passo 3

Entender a função como transformações da função base y=\sqrt{x} — isso facilita o esboço. Vou explicar passo a passo cada transformação e o efeito sobre pontos:
  1. Começo com y=\sqrt{x}.
  2. Troco x por x+1 para obter y=\sqrt{x+1}. Isso é uma translação horizontal de 1 unidade para a esquerda: todo ponto (a,b) de y=\sqrt{x} vira (a-1,b).
  3. Multiplico por 2: y=2\sqrt{x+1}. Isso estica verticalmente por fator 2: todo y dobra.
  4. Somo 1: y=2\sqrt{x+1}+1. Isso desloca o gráfico 1 unidade para cima.
Usando essa sequência, se eu pegar pontos conhecidos de y=\sqrt{x}, por exemplo os pontos cujas abscissas são 0,1,4,9 (porque \sqrt{0}=0,\sqrt{1}=1,\sqrt{4}=2,\sqrt{9}=3), eu transformo cada um para obter pontos de k:
  • Para a=0: começa em (0,0) → shift left → (-1,0) → stretch → (-1,0) → up → (-1,1).
  • Para a=1: (1,1) (0,1) (0,2) (0,3).
  • Para a=4: (4,2) (3,2) (3,4) (3,5).
  • Para a=9: (9,3) (8,3) (8,6) (8,7).
Assim temos pontos úteis para plotar: (-1,1),\;(0,3),\;(3,5),\;(8,7).

Passo 4

Calcular interceptos e valores notáveis:
  • Intercepto em y (quando x=0): k(0)=2\sqrt{0+1}+1=2\cdot1+1=3,
então o ponto é (0,3) — já encontrado acima.
  • Intercepto em x: resolver 2\sqrt{x+1}+1=0. Subtraindo 1 e dividindo por 2 dá \sqrt{x+1}=-\tfrac12, impossível porque a raiz quadrada é sempre \ge 0. Logo não há intercepto em x.
  • Ponto inicial (extremo esquerdo do domínio): para x=-1, k(-1)=2\sqrt{0}+1=1,
ponto inicial é (-1,1). Esse ponto pertence ao gráfico (ponto fechado).

Passo 5

Estudar monotonicidade e concavidade de forma rápida (isso ajuda no formato do esboço):
Calculo a derivada para ver se a função cresce ou decresce:
k'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\sqrt{x+1}+1\bigr) =2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}.
Como para todo x\ge -1 temos \sqrt{x+1}\ge 0 (estritamente >0 para x>-1), segue que k'(x)>0 em (-1,\infty). Portanto a função é estritamente crescente no seu domínio. Observação importante: em x=-1 a derivada tende para +\infty (porque \sqrt{x+1}\to 0), o que indica uma tangente vertical (o gráfico “parte” bem íngreme no ponto inicial).
Agora a segunda derivada para ver concavidade:
k''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) =-\frac{1}{2(x+1)^{3/2}}<0\quad\text{para }x>-1.
Logo o gráfico é côncavo para baixo (concavidade negativa) em todo o domínio aberto.
Resumo do comportamento: começa em (-1,1) com tangente muito íngreme, cresce para a direita, vai ficando cada vez mais “achatado” (declive diminuindo), e é sempre côncavo para baixo.

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (passo a passo para você fazer na prova, sem calcadora):
  1. Desenhe os eixos coordenados e marque x=-1 no eixo x e y=1 no eixo y.
  2. Marque o ponto inicial (-1,1) com um ponto cheio.
  3. Marque os pontos (0,3),\;(3,5) e opcionalmente (8,7) para dar referência de forma (esses valores foram calculados no Passo 3).
  4. Lembre que não há intercepto em x e que a curva é sempre crescente e côncava para baixo.
  5. Trace uma curva suave ligando esses pontos, saindo íngreme em (-1,1) e achatando conforme avança para a direita.
  6. Coloque uma seta para a direita indicando que o gráfico continua indefinidamente para x\to\infty.

Passo 7

Recapitulação curta e incentivo: então, para esboçar basta usar o ponto inicial (-1,1), os pontos de apoio (0,3),(3,5),(8,7), lembrar que a curva é crescente e côncava para baixo, sem corte em x. Você já tem todos os elementos para desenhar um esboço correto — vai com calma, marque os pontos e ligue com uma curva suave. Você está indo bem!

Resposta

Domínio: [-1,\infty)
Imagem (contradomínio efetivo): [1,\infty)
Pontos importantes: (-1,1),\;(0,3),\;(3,5),\;(8,7)
Intercepto em y: (0,3) — não há intercepto em x
Monotonicidade: estritamente crescente em [-1,\infty)
Concavidade: côncava para baixo em (-1,\infty)
Esboço: curva começando em (-1,1), muito íngreme no começo, passando por (0,3) e achatando para a direita, sem cruzar o eixo x.

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