Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)= \begin{cases}|x+1|-1 & ; \quad x \leq 2 \\\\ -x+3 ; & 2<x\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado pede: fazer um esboço do gráfico da função definida por partes
f(x)= \begin{cases}|x+1|-1 & ; \quad x \leq 2 \\\\ -x+3 ; & 2<x\end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
\text{para }x\le 2:\; f(x)=|x+1|-1, \quad\text{e}\quad \text{para }x>2:\; f(x)=-x+3.
O pedido é somente desenhar (esboçar) o gráfico, então precisamos entender como cada ramo se comporta, pontos importantes (vértice, interceptos, valores em x=2) e se há pontos abertos/fechados.

Passo 2

Vamos tratar a parte com valor absoluto. Lembre que |u|\) se quebra em duas expressões: \[|u| = \begin{cases}u & \text{se } u\ge 0,\\\\ -u & \text{se } u<0.\end{cases}
Aqui u=x+1\]. Então: \[|x+1| = \begin{cases}x+1 & \text{se } x+1\ge0 \\ (\text{i.e. } x\ge-1),\\\\ -(x+1) & \text{se } x+1<0 \\ (\text{i.e. } x<-1).\end{cases}\] Substituindo em \[f (lembrando que esse ramo vale apenas para x\le2) obtemos, para toda a função:
f(x)=\begin{cases} -(x+1)-1 = -x-2 & \text{se } x<-1,\\\ (x+1)-1 = x & \text{se } -1\le x\le 2,\\\\ -x+3 & \text{se } x>2. \end{cases}
Ou seja, o ramo absoluto é, de fato, duas retas que se juntam no ponto x=-1\], e o ramo à direita de \(x=2 é outra reta.

Passo 3

Interpretação geométrica de cada pedaço (reta, inclinação e pontos úteis):
  • Para x<-1: f(x)=-x-2. É uma reta com coeficiente angular -1 e ordenada no eixo y igual a -2 (se estendêssemos). Dois pontos fáceis de calcular:
    f(-1) = -(-1)-2 = -1,\qquad f(-2) = -(-2)-2 = 0.
    Então nessa parte temos o ponto (-2,0) e (-1,-1). A reta vai até (-1,-1) incluindo esse ponto? Como a expressão x<-1 é estrita, o valor em x=-1 vem do próximo caso; porém a continuidade do valor será verificada depois.
  • Para -1\le x\le 2: f(x)=x. É a reta de inclinação +1 que passa pelos pontos:
    f(-1)=-1,\qquad f(0)=0,\qquad f(2)=2.
    Esse ramo inclui x=-1 e inclui x=2 (pois aqui está escrito \le 2), então o ponto (-1,-1) e o ponto (2,2) são pontos com círculo preenchido (pontos incluídos).
  • Para x>2: f(x)=-x+3. É uma reta de inclinação -1. Alguns pontos:
    \lim_{x\to2^+}f(x) = -2+3 = 1,\qquad f(3) = -3+3 = 0.
    Como esse ramo é apenas para x>2, o ponto (2,1) fica aberto (não incluído); o ponto (3,0) pertence ao ramo.

Passo 4

Resumindo os pontos-chave a plotar para um esboço fiel (todos estes em notação (x,y)):
(-2,0),\quad (-1,-1),\quad (0,0),\quad (2,2)\\ \text{(fechado)},\quad (2,1)\\ \text{(aberto)},\quad (3,0).
Observações úteis para desenhar:
  • O vértice da parte com valor absoluto é (-1,-1) (ponto de mínimo local global nessa região).
  • A função é decrescente para x<-1 (coeficiente -1), crescente para -1<x<2 (coeficiente +1), e decrescente novamente para x>2 (coeficiente -1).
  • Interseções com os eixos: intercepto em y é (0,0); interceptos em x são (-2,0), (0,0) e (3,0).

Passo 5

Verificação de continuidade em x=2:
  • Valor pelo lado esquerdo (usando o ramo -1\le x\le2): f(2)=2.
  • Limite pelo lado direito (usando f(x)=-x+3): \lim_{x\to2^+}f(x)=1.
    Como 2\neq1, há uma descontinuidade do tipo salto em x=2. Consequência visual: no gráfico teremos um ponto cheio em (2,2) e um ponto aberto em (2,1), com a reta decrescente -x+3 começando logo à direita de x=2.

Passo 6

Como desenhar o esboço passo a passo (faça assim na folha):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque os pontos inteiros pelo menos entre -3 e 4.
  2. Plote os pontos listados: (-2,0),(-1,-1),(0,0),(2,2) (marque este último cheio) e (2,1) (marque este aberto), (3,0).
  3. Ligue com reta:
    • De (-\infty,-2] passando por (-2,0) até (-1,-1) usando a reta f(x)=-x-2. Em (-1,-1) a inclinação muda.
    • De (-1,-1) até (2,2) usando a reta f(x)=x (segmento inclinado para cima).
    • Para a direita de x=2, desenhe a reta f(x)=-x+3 começando imediatamente à direita de x=2 pelo ponto aberto (2,1) e seguindo decrescendo (passando por (3,0) etc.).
  4. Certifique-se de indicar claramente o ponto fechado em (2,2) e o ponto aberto em (2,1).
Você conseguiu — é só ligar esses pontos com segmentos retos conforme indicado e marcar o ponto aberto/fechado em x=2. Se quiser, depois eu posso gerar uma imagem do esboço para comparar com o seu desenho.

Resposta

Ramo 1 ( x<-1): reta f(x)=-x-2 passando por (-2,0) e chegando em (-1,-1).\nRamo 2 ( -1\le x\le2): reta f(x)=x passando por (-1,-1),(0,0),(2,2) com (2,2) ponto fechado.\nRamo 3 ( x>2): reta f(x)=-x+3 começando em (2,1) ponto aberto e passando por (3,0).\nHá salto (descontinuidade) em x=2 pois f(2)=2 e \lim_{x\to2^+}f(x)=1.

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