Um bloco de massa m repousa em um plano liso. O plano é elevado a um ângulo de inclinação \theta a uma taxa \alpha, fazendo com que o bloco deslize pelo plano. Determine a equação do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve uma massa m apoiada em um plano sem atrito cuja inclinação em relação à horizontal cresce linearmente no tempo segundo \theta(t)=\alpha\,t. O conteúdo necessário é Dinâmica (2ª Lei de Newton) aplicada ao eixo paralelo ao plano. Vamos obter a equação diferencial do movimento ao longo do plano e, em seguida, integrar para achar s(t), a posição medida ao longo da rampa.

Passo 2

Escolhemos o eixo x positivo apontando para baixo ao longo do plano. As únicas forças em x são a componente do peso e nenhuma força de atrito. A componente do peso ao longo do plano vale mg\sin\theta(t).

Passo 3

Aplicando a 2ª Lei de Newton em x:
\sum F_x = m\,a_x
ou seja
m\,\frac{d^2 s}{dt^2} \;=\; m\,g\,\sin\bigl(\theta(t)\bigr)
Como \theta(t)=\alpha\,t, fica
\frac{d^2 s}{dt^2} \;=\; g\,\sin\bigl(\alpha\,t\bigr).

Passo 4

Para encontrar s(t), integramos duas vezes, usando s(0)=0 e s'(0)=0.
Integração uma vez:
s'(t)=\int_0^t g\,\sin(\alpha\,\tau)\,d\tau =\frac{g}{\alpha}\bigl[1-\cos(\alpha\,t)\bigr].
Segunda integração:
s(t)=\int_0^t \frac{g}{\alpha}\bigl[1-\cos(\alpha\,\tau)\bigr]\,d\tau =\frac{g}{\alpha}\,t \;-\;\frac{g}{\alpha^2}\,\sin(\alpha\,t).

Resposta

A equação diferencial do movimento é
\frac{d^2 s}{dt^2}=g\,\sin(\alpha t)
e sua solução, com s(0)=0, s'(0)=0, é
s(t)=\frac{g}{\alpha}\,t \;-\;\frac{g}{\alpha^2}\,\sin(\alpha\,t).

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