Prove que
sumi=1^n-1 i(i+1)=n(n-1)(n+1)3, n >= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma dos termos da forma i(i+1) de i = 1 até n-1 é igual a n(n-1)(n+1)3, onde n é maior ou igual a 2. Isso envolve conhecimentos de somatórias e manipulação algébrica. Vamos precisar entender como somar expressões quadráticas e usar propriedades de somas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo i(i+1):
i(i+1) = i^2 + i
Então, nossa soma original fica:
sumi=1^n-1 i(i+1) = sumi=1^n-1 (i^2 + i)

Passo 3

Agora, podemos separar a soma em duas partes usando a propriedade distributiva da soma:
sumi=1^n-1 (i^2 + i) = sumi=1^n-1 i^2 + sumi=1^n-1 i
Isso facilita a resolução, já que temos fórmulas conhecidas para cada uma dessas somas.

Passo 4

Vamos calcular cada soma separadamente. Primeiro, a soma dos quadrados:
sumi=1^n-1 i^2 = (n-1)n(2n-1)6
E depois, a soma dos números naturais:
sumi=1^n-1 i = (n-1)n2

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na soma original:
sumi=1^n-1 i(i+1) = (n-1)n(2n-1)6 + (n-1)n2
Para simplificar, vamos colocar ambas as frações com o mesmo denominador, que é 6:
(n-1)n(2n-1)6 + 3(n-1)n6 = (n-1)n(2n-1 + 3)6

Passo 6

Simplificando dentro do parêntese:
2n - 1 + 3 = 2n + 2
Então, a expressão fica:
(n-1)n(2n + 2)6
Podemos fatorar o 2 no termo 2n + 2:
(n-1)n cdot 2(n + 1)6

Passo 7

Agora, simplificamos os termos:
2(n-1)n(n + 1)6 = (n-1)n(n + 1)3
Pronto! Chegamos à expressão que queríamos provar.

Resposta

A soma sumi=1^n-1 i(i+1) é igual a n(n-1)(n+1)3 para n >= 2.

Exercícios relacionados