Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma dos termos da forma
de
até
é igual a
, onde
é maior ou igual a 2. Isso envolve conhecimentos de somatórias e manipulação algébrica. Vamos precisar entender como somar expressões quadráticas e usar propriedades de somas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o termo
:
Então, nossa soma original fica:
Passo 3
Agora, podemos separar a soma em duas partes usando a propriedade distributiva da soma:
Isso facilita a resolução, já que temos fórmulas conhecidas para cada uma dessas somas.
Passo 4
Vamos calcular cada soma separadamente. Primeiro, a soma dos quadrados:
E depois, a soma dos números naturais:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na soma original:
Para simplificar, vamos colocar ambas as frações com o mesmo denominador, que é 6:
Passo 6
Simplificando dentro do parêntese:
Então, a expressão fica:
Podemos fatorar o 2 no termo
:
Passo 7
Agora, simplificamos os termos:
Pronto! Chegamos à expressão que queríamos provar.
Resposta
A soma
é igual a
para
.