Seja a matriz
.
Calcule
e depois deduza
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a matriz $ A =
$ e precisamos calcular suas potências $ A^2, A^3, A^4 $ e depois descobrir uma expressão geral para $ A^n $. Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e observar o padrão que aparece conforme a gente aumenta a potência. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ A^2 $. Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
Calculando cada elemento:
-
Primeiro elemento (1,1):
-
Primeiro elemento (1,2):
-
Segundo elemento (2,1):
-
Segundo elemento (2,2):
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular $ A^3 $. Já temos $ A^2 $, então multiplicamos $ A^2 $ por $ A $:
Calculando cada elemento:
-
Primeiro elemento (1,1):
-
Primeiro elemento (1,2):
-
Segundo elemento (2,1):
-
Segundo elemento (2,2):
Então,
Passo 4
Vamos seguir e calcular $ A^4 $ usando $ A^3 $:
Calculando cada elemento:
-
Primeiro elemento (1,1):
-
Primeiro elemento (1,2):
-
Segundo elemento (2,1):
-
Segundo elemento (2,2):
Então,
Passo 5
Observando os resultados que obtivemos:
Percebe-se que, em cada potência, o elemento na posição (2,1) aumenta em 1, enquanto os outros elementos permanecem iguais. Isso sugere que para qualquer $ n $, a matriz $ A^n $ terá o elemento (2,1) igual a $ n $.
Resposta
Portanto, para qualquer inteiro positivo $ n $, a $ n $-ésima potência da matriz $ A $ é dada por: