Seja a matriz A=(ll1 & 0 1 & 1).
Calcule A^2, A^3, A^4 e depois deduza A^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a matriz $ A = A = 1 & 0 1 & 1 $ e precisamos calcular suas potências $ A^2, A^3, A^4 $ e depois descobrir uma expressão geral para $ A^n $. Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e observar o padrão que aparece conforme a gente aumenta a potência. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ A^2 $. Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
A^2
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
    A^2 = A times A = 1 & 0 1 & 1 times 1 & 0 1 & 1
  • Primeiro elemento (1,2):
    (1 times 1) + (0 times 1) = 1 + 0 = 1
  • Segundo elemento (2,1):
    (1 times 0) + (0 times 1) = 0 + 0 = 0
  • Segundo elemento (2,2):
    (1 times 1) + (1 times 1) = 1 + 1 = 2
Então,
(1 times 0) + (1 times 1) = 0 + 1 = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular $ A^3 $. Já temos $ A^2 $, então multiplicamos $ A^2 $ por $ A $:
A^3
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
    A^2
  • Primeiro elemento (1,2):
    A^2
  • Segundo elemento (2,1):
    A
  • Segundo elemento (2,2):
    A^3 = A^2 times A = 1 & 0 2 & 1 times 1 & 0 1 & 1
Então,
(1 times 1) + (0 times 1) = 1 + 0 = 1

Passo 4

Vamos seguir e calcular $ A^4 $ usando $ A^3 $:
A^4
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
    A^3
  • Primeiro elemento (1,2):
    A^4 = A^3 times A = 1 & 0 3 & 1 times 1 & 0 1 & 1
  • Segundo elemento (2,1):
    (1 times 1) + (0 times 1) = 1 + 0 = 1
  • Segundo elemento (2,2):
    (1 times 0) + (0 times 1) = 0 + 0 = 0
Então,
(3 times 1) + (1 times 1) = 3 + 1 = 4

Passo 5

Observando os resultados que obtivemos:
A = 1 & 0 1 & 1 , A^2 = 1 & 0 2 & 1 , A^3 = 1 & 0 3 & 1 , A^4 = 1 & 0 4 & 1
Percebe-se que, em cada potência, o elemento na posição (2,1) aumenta em 1, enquanto os outros elementos permanecem iguais. Isso sugere que para qualquer $ n $, a matriz $ A^n $ terá o elemento (2,1) igual a $ n $.

Resposta

Portanto, para qualquer inteiro positivo $ n $, a $ n $-ésima potência da matriz $ A $ é dada por:
n

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