Seja a sequência definida como
Prove por indução matemática que
para todos os inteiros
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida onde o primeiro termo é 3 e cada termo seguinte é 7 vezes o termo anterior. A matéria aqui é Indução Matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todo número inteiro maior ou igual a algum valor inicial. Vamos precisar entender como a indução funciona para mostrar que, para qualquer inteiro $ n \geq 1 $, o termo geral da sequência é $ a_n = 3 \cdot 7^{n-1} $.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o primeiro termo da sequência. Isso é o que chamamos de caso base na indução matemática.
Temos que $ a_1 = 3 $. Vamos ver se isso é igual a $ 3 \cdot 7^{1-1} $:
Então, para $ n = 1 $, a fórmula está correta.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para um termo qualquer $ k $. Isso é a hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a fórmula também funciona para o próximo termo, $ a_{k+1} $.
Passo 4
Vamos usar a definição da sequência para encontrar $ a_{k+1} $. Sabemos que:
Agora, substituímos $ a_k $ pela nossa hipótese de indução:
Perceba que:
Isso mostra que a fórmula também funciona para $ n = k + 1 $.
Passo 5
Como mostramos que a fórmula está correta para o caso base ($ n = 1 $) e que, se ela funciona para um termo $ k $, ela também funciona para $ k + 1 $, pela princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo inteiro $ n \geq 1 $.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo inteiro $ n \geq 1 $, temos que: