Prove que
binomn+2k+2=binomnk+2binomnk+1+binomnk+2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra provar a identidade
binomn+2k+2 ;=;binomnk ;+;2binomnk+1;+;binomnk+2
Isso é conteúdo de combinatória, mais especificamente coeficientes binomiais e a famosa identidade de Pascal.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é binomm+1r ;=;binommr-1 ;+;binommr .
  2. Usar a identidade de Pascal

Passo 2

Primeiro, lembra que
binomm+1r = underbracebinommr-1incluindo o extra +underbracebinommrnão incluindo é o número de jeitos de escolher itens de um total de .
A identidade de Pascal se explica assim: pra escolher de , ou você inclui um certo elemento “extra” (e aí escolhe dos outros ), ou não inclui (e aí escolhe dos ). Isso dá
ã

Passo 3

Agora aplica Pascal pra cima de binomn+2k+2 = binom(n+1)+1k+2 = binomn+1(k+2)-1 + binomn+1k+2 = binomn+1k+1 + binomn+1k+2 .
Tomamos e . Assim

Passo 4

Agora expandimos cada termo de novo com Pascal:
  1. Para binomn+1k+1 = binomnk + binomnk+1 , use binomn+1k+2 = binomnk+1 + binomnk+2 , :
  2. Para , use , :

Passo 5

Juntando tudo:
binomn+2k+2 = l(binomnk + binomnk+1r) + l(binomnk+1 + binomnk+2r)
Basta agrupar termos semelhantes:
binomn+2k+2 = binomnk + l(binomnk+1 + binomnk+1r) + binomnk+2 = binomnk + 2binomnk+1 + binomnk+2

Resposta

[
\boxed{
\binom{n+2}{k+2}

\binom{n}{k}
+2\binom{n}{k+1}
+\binom{n}{k+2}
.
}
]

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