Prove que
é simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dada uma matriz
de tamanho
, o produto
é uma matriz simétrica de tamanho
. Lembrando que uma matriz
é simétrica se e somente se
Passo 2
Vamos usar a propriedade básica da transposição de produto de matrizes, que diz que, para quaisquer matrizes compatíveis
e
, vale
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao caso
e
, obtemos
Mas sabemos que
, pois a transposição é involutiva.
Passo 4
Substituindo
na expressão anterior, fica
que é exatamente a própria matriz
. Portanto,
é igual ao seu transposto e, por definição, é simétrica.
Resposta
Como
, concluímos que
é simétrica.