Prove que A A^{T} é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dada uma matriz A de tamanho m\times n, o produto AA^T é uma matriz simétrica de tamanho m\times m. Lembrando que uma matriz M é simétrica se e somente se
M^T = M.

Passo 2

Vamos usar a propriedade básica da transposição de produto de matrizes, que diz que, para quaisquer matrizes compatíveis M e N, vale
(MN)^T = N^T M^T.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao caso M=A e N=A^T, obtemos
(AA^T)^T = (A^T)^T\,A^T.
Mas sabemos que (A^T)^T = A, pois a transposição é involutiva.

Passo 4

Substituindo (A^T)^T = A na expressão anterior, fica
(AA^T)^T = A\,A^T,
que é exatamente a própria matriz AA^T. Portanto, AA^T é igual ao seu transposto e, por definição, é simétrica.

Resposta

Como (AA^T)^T = AA^T, concluímos que AA^T é simétrica.

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