Prove que a tensão de cisalhamento máxima para uma viga de seção transversal circular maciça de raio r, submetida a um esforço cortante V é dada por taumax =4 V / 3 A, em que A representa a área da referida seção.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para provar que numa viga com seção circular maciça de raio taumax ;=;4,V3,A,, , submetida a uma força cortante , a tensão de cisalhamento máxima é
sendo a área da seção ( ).
Conteúdo: teoria de cisalhamento em vigas (fórmula de Navier: ). Vamos precisar de:
  1. A fórmula geral .
  2. O momento de inércia da seção circular.
  3. O primeiro momento de área para a linha neutra ( ).
  4. A “largura” da seção na fibra neutra.

Passo 2

Teoria básica:
  • Para cisalhamento transversal temos a fórmula tau(y);=;V,Q(y)I,t(y);, onde:
    = momento de inércia da seção em torno do eixo neutro.
    = primeiro momento de área da parte da seção acima (ou abaixo) da fibra em .
    = espessura da seção na mesma fibra .
  • A tensão máxima aparece normalmente na fibra neutra ( ), pois aí é maior.

Passo 3

Calcular Atfrac12 ;=;pi R^22, , o primeiro momento de área para a “meia-seção” acima da linha neutra:
  1. A área da meia-seção é bar y ;=;4R3pi,
  2. A distância do centroide dessa meia-seção até a linha neutra é (fórmula conhecida para semicírculo) Q(0);=;Atfrac12;times;bar y ;=;pi R^22;cdot;4R3pi ;=;2,R^33,
  3. Então

Passo 4

Agora os outros termos:
  1. Momento de inércia da seção circular toda em relação à linha neutra: I ;=;pi,R^44,
  2. Largura da seção (“espessura”) na fibra neutra t(0);=;2,R, : taumax =V;l(tfrac2R^33r)l(tfracpi R^44r);(2R) =V,tfrac2R^33tfracpi R^44;2R =V,tfrac2R^33tfracpi R^52 =2V,R^33;cdot;2pi R^5 =4V3,pi R^2 =4V3,A,
  3. Aplicando na fórmula :

Resposta

.

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