Prove que a tensão de cisalhamento máxima para uma viga de seção transversal circular maciça de raio
, submetida a um esforço cortante
é dada por
, em que
representa a área da referida seção.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para provar que numa viga com seção circular maciça de raio
, submetida a uma força cortante
, a tensão de cisalhamento máxima é
sendo
a área da seção (
).
Conteúdo: teoria de cisalhamento em vigas (fórmula de Navier: ). Vamos precisar de:
Conteúdo: teoria de cisalhamento em vigas (fórmula de Navier:
- A fórmula geral
. - O momento de inércia
da seção circular. - O primeiro momento de área
para a linha neutra ( ). - A “largura” da seção
na fibra neutra.
Passo 2
Teoria básica:
- Para cisalhamento transversal temos a fórmula
onde:
•= momento de inércia da seção em torno do eixo neutro.
•= primeiro momento de área da parte da seção acima (ou abaixo) da fibra em .
•= espessura da seção na mesma fibra . - A tensão máxima aparece normalmente na fibra neutra (
), pois aí é maior.
Passo 3
Calcular
, o primeiro momento de área para a “meia-seção” acima da linha neutra:
- A área da meia-seção é
- A distância do centroide dessa meia-seção até a linha neutra é (fórmula conhecida para semicírculo)
- Então
Passo 4
Agora os outros termos:
- Momento de inércia da seção circular toda em relação à linha neutra:
- Largura da seção (“espessura”) na fibra neutra
: - Aplicando na fórmula
: