Prove o Teorema das Bissetrizes : a) A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados, isto é, se A B C é um triângulo c \overline{A D} é a bissetriz do \widehat{A} com D pertencente ao lado B C, então \frac{D B}{A B}=\frac{D C}{A C}. (Sugestão. Trace pelo ponto B ou C uma reta paralela ao segmento A D, a qual encontrará a semi-reta C A no ponto E . Use o Teorcma Fundamental da Proporcionalidade.) Mostre também que se um ponto divide um lado de um triângulo em segmentos proporcionais aos outros dois lados, então o segmento que liga esse ponto ao vértice oposto é uma bissetriz do triângulo.
b) A reta que contém a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo escaleno referente a um dos vértices do triângulo encontra a reta suporle do lado oposto em um ponto que forma, com os outros dois vértices, segmentos proporcionais aos outros dois lados do triângulo, isto é, se no triângulo A B C, \overrightarrow{A M} é bissctriz externa referente ao vértice A \operatorname{com} M \mathrm{~cm} \overleftrightarrow{B C}, então \frac{M B}{\underline{A B}}=\frac{M C}{A C}. (Sugestão análoga à da parte a.)

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos a teoria de áreas e proporções em triângulos para provar duas coisas:
  1. (Teorema das bissetrizes internas) Se A D é a bissetriz interna de \widehat{A} em \triangle A B C com D em B C, então
\frac{D B}{D C} \;=\;\frac{A B}{A C},
e o recíproco: se um ponto D em B C satisfaz \frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A C}, então A D é bissetriz de \widehat{A}.
  1. (Teorema da bissetriz externa) Se A M é a bissetriz externa do ângulo \widehat{A} em \triangle A B C e M está sobre a reta que contém B C, então
\frac{M B}{M C} \;=\;\frac{A B}{A C}.
Usaremos áreas de triângulos e a Lei dos Senos.

Passo 2

(Prova da bissetriz interna)
Considere \triangle A B C com bissetriz interna A D, D\in B C.
– Deixe h a distância de A à reta B C. Então
\mathcal{A}_{A B D} =\tfrac12\,(B D)\,h, \quad \mathcal{A}_{A D C} =\tfrac12\,(D C)\,h
logo
\frac{\mathcal{A}_{A B D}}{\mathcal{A}_{A D C}} =\frac{B D}{D C}.
– Por outro lado, usando a fórmula de área com lados e seno,
\mathcal{A}_{A B D} =\tfrac12\,A B\cdot A D\;\sin\!\bigl(\angle B A D\bigr), \quad \mathcal{A}_{A D C} =\tfrac12\,A C\cdot A D\;\sin\!\bigl(\angle D A C\bigr).
Como A D bisseta \widehat{A}, temos \angle B A D=\angle D A C e, portanto,
\frac{\mathcal{A}_{A B D}}{\mathcal{A}_{A D C}} =\frac{A B}{A C}.
Igualando as duas razões de áreas,
\frac{B D}{D C} =\frac{A B}{A C},
que é exatamente o enunciado da bissetriz interna.

Passo 3

(Prova do recíproco)
Suponha D\in B C tal que
\frac{B D}{D C} =\frac{A B}{A C}.
Construa mediante régua e compasso a bissetriz interna de \widehat{A}; ela encontra B C em D'. Pelo já provado,
\frac{B D'}{D' C} =\frac{A B}{A C}
mas o ponto que divide B C na mesma razão é único, logo D'=D. Assim, A D coincide com a bissetriz interna de \widehat{A}.

Passo 4

(Prova da bissetriz externa)
Considere \triangle A B C e a bissetriz externa A M de \widehat{A}, com M sobre a reta que contém B C. Aplicamos a Lei dos Senos em \triangle A B M e em \triangle A C M:
\frac{M B}{\sin(\angle B A M)} =\frac{A B}{\sin(\angle A M B)}, \quad \frac{M C}{\sin(\angle C A M)} =\frac{A C}{\sin(\angle A M C)}.
Como A M bisseta o ângulo suplementar a \widehat{A}, vale \angle B A M=\angle C A M. Além disso, em B, M, C colineares, os ângulos \angle A M B e \angle A M C são suplementares, de modo que \sin(\angle A M B)=\sin(\angle A M C).
Dividindo as duas igualdades acima, obtemos
\frac{M B}{M C} =\frac{A B}{A C}.

Resposta

Para o ângulo interno em A:
\frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A C},
com o recíproco também válido.
Para o ângulo externo em A:
\frac{M B}{M C}=\frac{A B}{A C}.

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