Utilizando o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e propriedades das proporções entre números reais, demonstre o Teorema de Talcs para um conjunto de quatro retas paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas quatro retas paralelas
e duas transversais
e
que as cortam nos pontos
– sobre :
,
,
,
– sobre :
,
,
,
valem as igualdades de razão
– sobre
– sobre
valem as igualdades de razão
Usaremos o Teorema Fundamental da Proporcionalidade (que garante semelhança de triângulos quando um lado é paralelo a um lado de um triângulo) e propriedades básicas de proporções.
Passo 2
Considere o ponto
. Como
, a reta
é paralela a
. Logo, no par de triângulos
e
, os ângulos em
são iguais e os ângulos em
iguais aos ângulos em
. Assim
Passo 3
De modo análogo, como
, a reta
é paralela a
. Nos triângulos
e
vale
Passo 4
Pelas propriedades de proporção (se
e
, então
), das duas igualdades acima segue
Passo 5
Para comparar
com
, usamos ainda os triângulos em que
. Nos triângulos
e
temos
E, já que
, nos triângulos
e
vale
Passo 6
Das igualdades
e
e da igualdade
, concluímos
Resposta
Ficou demonstrado que, para quatro retas paralelas e duas transversais, as razões dos segmentos correspondentes são iguais, ou seja: