Utilizando o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e propriedades das proporções entre números reais, demonstre o Teorema de Talcs para um conjunto de quatro retas paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas quatro retas paralelas r_1,r_2,r_3,r_4 e duas transversais t e t' que as cortam nos pontos
– sobre t: A=r_1\cap t, B=r_2\cap t, C=r_3\cap t, D=r_4\cap t
– sobre t': A'=r_1\cap t', B'=r_2\cap t', C'=r_3\cap t', D'=r_4\cap t'
valem as igualdades de razão
\frac{AB}{BC} \;=\;\frac{A'B'}{B'C'} \quad\text{e}\quad \frac{AB}{CD} \;=\;\frac{A'B'}{C'D'}.
Usaremos o Teorema Fundamental da Proporcionalidade (que garante semelhança de triângulos quando um lado é paralelo a um lado de um triângulo) e propriedades básicas de proporções.

Passo 2

Considere o ponto X = t\cap t'. Como r_1\parallel r_2\parallel r_3\parallel r_4, a reta r_2 é paralela a r_3. Logo, no par de triângulos \triangle XAB e \triangle XA'B', os ângulos em X são iguais e os ângulos em A,B iguais aos ângulos em A',B'. Assim
\triangle XAB \sim \triangle XA'B' \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{A'B'} \;=\;\frac{XB}{XB'}.

Passo 3

De modo análogo, como r_2\parallel r_3\parallel r_4, a reta r_3 é paralela a r_4. Nos triângulos \triangle XBC e \triangle XB'C' vale
\triangle XBC \sim \triangle XB'C' \quad\Longrightarrow\quad \frac{BC}{B'C'} \;=\;\frac{XB}{XB'}.

Passo 4

Pelas propriedades de proporção (se \tfrac{u}{v}=\tfrac{w}{x} e \tfrac{p}{q}=\tfrac{w}{x}, então \tfrac{u}{v}=\tfrac{p}{q}), das duas igualdades acima segue
\frac{AB}{A'B'} \;=\;\frac{BC}{B'C'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{BC} \;=\;\frac{A'B'}{B'C'}.

Passo 5

Para comparar AB com CD, usamos ainda os triângulos em que r_2\parallel r_4. Nos triângulos \triangle XBD e \triangle XB'D' temos
\triangle XBD \sim \triangle XB'D' \quad\Longrightarrow\quad \frac{XB}{XB'} \;=\;\frac{XD}{XD'}.
E, já que r_3\parallel r_4, nos triângulos \triangle XCD e \triangle XC'D' vale
\triangle XCD \sim \triangle XC'D' \quad\Longrightarrow\quad \frac{CD}{C'D'} \;=\;\frac{XD}{XD'}.

Passo 6

Das igualdades \tfrac{AB}{A'B'}=\tfrac{XB}{XB'} e \tfrac{CD}{C'D'}=\tfrac{XD}{XD'} e da igualdade \tfrac{XB}{XB'}=\tfrac{XD}{XD'}, concluímos
\frac{AB}{A'B'} \;=\;\frac{CD}{C'D'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{CD} \;=\;\frac{A'B'}{C'D'}.

Resposta

Ficou demonstrado que, para quatro retas paralelas e duas transversais, as razões dos segmentos correspondentes são iguais, ou seja:
\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} \quad\text{e}\quad \frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}.

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