Prove que são verdadeiras as identidades:
\begin{aligned} & \cos 5 \theta=16 \cos ^{5} \theta-20 \cos ^{3} \theta+5 \cos \theta \\\ & \operatorname{sen} 5 \theta / \operatorname{sen} \theta=16 \cos ^{4} \theta-12 \cos ^{2} \theta+1 \end{aligned}
se \theta \neq 0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \ldots

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar duas fórmulas de ângulo múltiplo em trigonometria:
\cos5\theta\quad\text{e}\quad\frac{\sen5\theta}{\operatorname{sen}\theta},
usando as relações trigonométricas básicas e o Teorema de De Moivre. Vamos precisar de:
  1. De Moivre: \bigl(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta\bigr)^5=\cos5\theta+i\sen5\theta.
  2. Teorema binomial para expandir (\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)^5.
  3. Identidade \operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta para simplificar.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de De Moivre e expandimos via binomial:
(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)^5 =\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}\cos^{5-k}\theta\,(i\operatorname{sen}\theta)^k.
Separamos as partes real e imaginária. Para k par, (i\operatorname{sen}\theta)^k é real; para k ímpar, é imaginário. O resultado é
\cos5\theta =\cos^5\theta -10\,\cos^3\theta\,\operatorname{sen}^2\theta +5\,\cos\theta\,\operatorname{sen}^4\theta
\sen5\theta =5\,\cos^4\theta\,\operatorname{sen}\theta -10\,\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^3\theta +\operatorname{sen}^5\theta.

Passo 3

Agora usamos \operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta para simplificar \cos5\theta. Substituindo:
\cos5\theta =\cos^5\theta -10\,\cos^3\theta\,(1-\cos^2\theta) +5\,\cos\theta\,(1-\cos^2\theta)^2.
Expandindo e coletando termos em \cos^5\theta,\cos^3\theta,\cos\theta, obtemos
\cos5\theta =16\,\cos^5\theta-20\,\cos^3\theta+5\,\cos\theta.

Passo 4

Para a segunda identidade, dividimos a expressão de \sen5\theta por \operatorname{sen}\theta (que não é zero nos ângulos proibidos):
\frac{\sen5\theta}{\operatorname{sen}\theta} =5\,\cos^4\theta -10\,\cos^2\theta\,\operatorname{sen}^2\theta +\operatorname{sen}^4\theta.
De novo usamos \operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta e \operatorname{sen}^4\theta=(1-\cos^2\theta)^2. Ao expandir e coletar, vem
\frac{\sen5\theta}{\operatorname{sen}\theta} =16\,\cos^4\theta-12\,\cos^2\theta+1.

Resposta

\cos5\theta=16\,\cos^5\theta-20\,\cos^3\theta+5\,\cos\theta,
\frac{\sen5\theta}{\operatorname{sen}\theta}=16\,\cos^4\theta-12\,\cos^2\theta+1.

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