Prove que são verdadeiras as identidades:
se
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar duas fórmulas de ângulo múltiplo em trigonometria:
usando as relações trigonométricas básicas e o Teorema de De Moivre. Vamos precisar de:
- De Moivre: .
- Teorema binomial para expandir
. - Identidade
para simplificar.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de De Moivre e expandimos via binomial:
Separamos as partes real e imaginária. Para
par,
é real; para
ímpar, é imaginário. O resultado é
Passo 3
Agora usamos
para simplificar
. Substituindo:
Expandindo e coletando termos em
, obtemos
Passo 4
Para a segunda identidade, dividimos a expressão de
por
(que não é zero nos ângulos proibidos):
De novo usamos
e
. Ao expandir e coletar, vem