Prove os teoremas a seguir.
Theorem 1.2.2 O limite de uma função é único.

Passo 1

O enunciado afirma que, se uma função f definida num domínio D\subseteq\mathbb{R} tiver limite em a igual a dois valores L e M, então deve acontecer que L=M. O conteúdo aqui é a definição \varepsilon - \delta de limite e a técnica clássica de assumir dois limites diferentes e obter contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam L e M com
\lim_{x\to a}f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}f(x)=M
e que L\neq M.
Pela definição de limite, para cada \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que
0<|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon.
De modo análogo, existe \delta_2>0 tal que
0<|x-a|<\delta_2 \implies |f(x)-M|<\varepsilon.

Passo 3

Escolha
\varepsilon = \frac{|L - M|}{2},
que é positivo pois L\neq M. Então existem \delta_1 e \delta_2 correspondentes. Seja
\delta = \min\{\delta_1,\;\delta_2\}.
Para qualquer x com 0<|x-a|<\delta, vale simultaneamente
|f(x)-L|<\varepsilon \quad\text{e}\quad |f(x)-M|<\varepsilon.

Passo 4

Usando a desigualdade triangular,
|L - M| = |\,L - f(x) + f(x) - M\,| \le |L - f(x)| + |f(x) - M| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = |L - M|.
Isso mostra que |L-M|<|L-M|, uma contradição.

Resposta

Logo, L=M. Portanto, o limite de uma função é único.

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