Prove os teoremas a seguir.
Theorem 1.2.2
limite de uma função é único.
Theorem 1.2.2
Passo 1
O enunciado afirma que, se uma função
definida num domínio
tiver limite em
igual a dois valores
e
, então deve acontecer que
. O conteúdo aqui é a definição
de limite e a técnica clássica de assumir dois limites diferentes e obter contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam
e
com
e que
.
Pela definição de limite, para cada existe
tal que
Pela definição de limite, para cada
De modo análogo, existe
tal que
Passo 3
Escolha
que é positivo pois
. Então existem
e
correspondentes. Seja
Para qualquer
com
, vale simultaneamente
Passo 4
Usando a desigualdade triangular,
Isso mostra que
, uma contradição.
Resposta
Logo,
. Portanto, o limite de uma função é único.