Theorem 1.2.1 Se x_{0} \in \mathbb{R} é um ponto de acumulação de A \subset \mathbb{R} então existe uma sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} em A \backslash\left\{x_{0}\right\} de termos distintos entre si satisfazendo x_{n} \rightarrow x_{0} quando n \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado afirma que, se x_{0}\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de A\subset\mathbb{R}, então podemos construir uma sequência \bigl(x_{n}\bigr)_{n\in\mathbb{N}} de termos distintos em A\setminus\{x_{0}\} que converge para x_{0}. O conteúdo aqui é topologia básica em \mathbb{R}: uso da definição de ponto de acumulação e construção de sequência para caracterizá-lo.

Passo 2

Pela definição de ponto de acumulação, para todo \varepsilon>0 existe um ponto em A\setminus\{x_{0}\} dentro do intervalo aberto
(x_{0}-\varepsilon,\;x_{0}+\varepsilon).
Em particular, para cada inteiro k\ge1 escolhemos um ponto y_{k}\in A\setminus\{x_{0}\} tal que
y_{k}\in\bigl(x_{0}-\tfrac1{k},\;x_{0}+\tfrac1{k}\bigr).

Passo 3

Queremos agora extrair dos y_{k} uma subsequência \bigl(x_{n}\bigr) cujos termos sejam todos distintos. Fazemos por indução:
  • Para n=1, defina x_{1}=y_{1}.
  • Suponha que x_{1},\dots,x_{n-1} já tenham sido escolhidos, todos distintos. Como o conjunto
\{x_{1},\dots,x_{n-1}\}
é finito, ainda há infinitos y_{k} e, em particular, existe algum y_{k}\neq x_{1},\dots,x_{n-1} com
y_{k}\in\bigl(x_{0}-\tfrac1{n},\;x_{0}+\tfrac1{n}\bigr).
Definimos então x_{n}=y_{k}. Assim cada x_{n}\in A\setminus\{x_{0}\} e os x_{n} são todos distintos.

Passo 4

Mostramos que x_{n}\to x_{0}. Dado \varepsilon>0, escolhemos N\in\mathbb{N} tal que \tfrac1{N}<\varepsilon. Para todo n\ge N, pela construção vale
x_{n}\in\bigl(x_{0}-\tfrac1{n},\;x_{0}+\tfrac1{n}\bigr)\subseteq(x_{0}-\tfrac1{N},\;x_{0}+\tfrac1{N})\subset(x_{0}-\varepsilon,\;x_{0}+\varepsilon).
Isso mostra \lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}.

Resposta

Construímos uma sequência \bigl(x_{n}\bigr) em A\setminus\{x_{0}\} de termos distintos, com
x_{n}\in\bigl(x_{0}-\tfrac1{n},\;x_{0}+\tfrac1{n}\bigr),
e verificamos que \lim_{n\to\infty}x_{n}=x_{0}, provando assim o teorema.

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