Theorem 1.2.1 Se
é um ponto de acumulação de
então existe uma sequência
em
de termos distintos entre si satisfazendo
quando
.
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é ponto de acumulação de
, então podemos construir uma sequência
de termos distintos em
que converge para
. O conteúdo aqui é topologia básica em
: uso da definição de ponto de acumulação e construção de sequência para caracterizá-lo.
Passo 2
Pela definição de ponto de acumulação, para todo
existe um ponto em
dentro do intervalo aberto
Em particular, para cada inteiro
escolhemos um ponto
tal que
Passo 3
Queremos agora extrair dos
uma subsequência
cujos termos sejam todos distintos. Fazemos por indução:
- Para
, defina . - Suponha que
já tenham sido escolhidos, todos distintos. Como o conjunto
é finito, ainda há infinitos
e, em particular, existe algum
com
Definimos então
. Assim cada
e os
são todos distintos.
Passo 4
Mostramos que
. Dado
, escolhemos
tal que
. Para todo
, pela construção vale
Isso mostra
.
Resposta
Construímos uma sequência
em
de termos distintos, com
e verificamos que
, provando assim o teorema.