Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int \operatorname{sec} ^{2}(x) \operatorname{tg}^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^2(x)\,\tan^3(x)\,dx
usando o método de substituição de variáveis. Como a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^2(x), faz sentido usar
u = \tan(x)
para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos
u = \tan(x),
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du = \operatorname{sec}^2(x)\,dx.
Perceba que na integral original o fator \operatorname{sec}^2(x)\,dx pode ser trocado por du e \tan^3(x) vira u^3.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral, obtemos
\int \operatorname{sec}^2(x)\,\tan^3(x)\,dx = \int u^3\,du.

Passo 4

Integramos u^3 em relação a u:
\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = \tan(x), a primitiva fica
\frac{\tan^4(x)}{4} + C.

Resposta

\frac{\tan^4(x)}{4} + C

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