Prove os teoremas a seguir.
Theorem 1.2.3 Seja
e
. Se existe
então existe
tal que
é limitada em
Theorem 1.2.3 Seja
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
e um ponto de acumulação
. Queremos mostrar que, se
existe (e é finito), então existe um raio
tal que
fica limitada em
.
Para isso usaremos a definição de limite finito e a consequência imediata de que perto de os valores de
não podem “explodir” em módulo.
Para isso usaremos a definição de limite finito e a consequência imediata de que perto de
Passo 2
Como
existe e é finito, pela definição de limite, para
existe
tal que, sempre que
e
, temos
Passo 3
Dessa desigualdade segue
Logo, ao definirmos
temos
para todo
com
.
Passo 4
Isso mostra que
é limitada em
. Se além disso
, basta observar que
é um número real; assim podemos ajustar o máximo entre
e
para cobrir também o ponto
.
Resposta
Tomando
dado pelo passo 2 e
(caso
), concluímos que para todo
vale
. Portanto
é limitada em
.