Prove os teoremas a seguir.
Theorem 1.2.3 Seja f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in X^{\prime}. Se existe \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) então existe \delta>0 tal que f é limitada em X \cap B_{\delta}\left(x_{0}\right)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto de acumulação x_{0}\in X'. Queremos mostrar que, se \lim_{x\to x_{0}}f(x) existe (e é finito), então existe um raio \delta>0 tal que f fica limitada em X\cap B_{\delta}(x_{0}).
Para isso usaremos a definição de limite finito e a consequência imediata de que perto de x_{0} os valores de f não podem “explodir” em módulo.

Passo 2

Como \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L existe e é finito, pela definição de limite, para \varepsilon = 1 existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e 0<|x - x_{0}|<\delta, temos
|f(x) - L| < 1.

Passo 3

Dessa desigualdade segue
|f(x)| \;\le\; |f(x)-L| + |L| \;<\; 1 + |L|.
Logo, ao definirmos
M = 1 + |L|,
temos |f(x)| < M para todo x\in X com 0<|x-x_{0}|<\delta.

Passo 4

Isso mostra que f é limitada em \bigl(X\setminus\{x_{0}\}\bigr)\cap B_{\delta}(x_{0}). Se além disso x_{0}\in X, basta observar que f(x_{0}) é um número real; assim podemos ajustar o máximo entre |f(x_{0})| e M para cobrir também o ponto x_{0}.

Resposta

Tomando \delta>0 dado pelo passo 2 e M=\max\{\,M,|f(x_{0})|\,\} (caso x_{0}\in X), concluímos que para todo x\in X\cap B_{\delta}(x_{0}) vale |f(x)|\le M. Portanto f é limitada em X\cap B_{\delta}(x_{0}).

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