Utilize o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para isso, vamos escolher u e dv de modo que du e v fiquem simples de calcular.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr), \qquad dv = dx.
Então
v = \int dv = x
e precisamos de
du = \frac{d}{dx}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx.
Para achar essa derivada, use a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}\,(x+\sqrt{1+x^2})} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.
Logo
du = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx
fazemos a substituição t = 1+x^2, de modo que dt = 2x\,dx e x\,dx = \tfrac12\,dt. Assim,
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \frac12 \int t^{-1/2}\,dt = \frac12 \cdot 2\,t^{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{1+x^2}.

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta, obtemos
\int \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) - \sqrt{1+x^2} + C.

Resposta

x\,\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr) \;-\;\sqrt{1+x^2} \;+\;C

Exercícios relacionados