Utilize o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
\int \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal é o método de integração por partes, que exige escolher uma parte para derivar u e outra para integrar dv. Também vamos usar a fórmula da derivada de \arctan(A) e saber calcular \int x/\sqrt{1-x^2}\,dx.

Passo 2

Escolhemos
u = \arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr), \quad dv = dx.
Então
v = \int dv = x, \qquad \int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Falta agora achar du.

Passo 3

Defina A = x\,(1-x^2)^{-1/2}. Então
A' = \frac{d}{dx}\Bigl[x(1-x^2)^{-1/2}\Bigr] = (1-x^2)^{-1/2} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}.
Como \displaystyle\frac{d}{dx}[\arctan(A)]=A'/(1+A^2), temos
du = \frac{A'}{1+A^2}\,dx = \frac{(1-x^2)^{-3/2}}{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 4

Calculamos
\int v\,du = \int x\cdot\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
com a substituição w=1-x^2, dw=-2x\,dx:
\int x(1-x^2)^{-1/2}dx = -\tfrac12\int w^{-1/2}dw = -\sqrt{w} = -\sqrt{1-x^2}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de partes:
\int \arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)dx = x\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr) - \bigl(-\sqrt{1-x^2}\bigr) + C = x\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr) + \sqrt{1-x^2} + C.

Resposta

x\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigr) + \sqrt{1-x^2} + C

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