Prove that the spherical harmonic wave function
1r e^i(k r-omega t)
is a solution of the three-dimensional wave equation, where r=(x^2+y^2+z^2)^1 / 2. The proof is easier if spherical coordinates are used.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função harmônica esférica definida como:
1r e^i(k r - omega t)
E precisamos provar que ela é uma solução da equação de onda tridimensional:
partial^2 psipartial t^2 = c^2 nabla^2 psi
Aqui, r = raizx^2 + y^2 + z^2 representa a distância do ponto (x, y, z) até a origem, k é o número de onda, omega é a frequência angular, e c é a velocidade da onda. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de onda tridimensional em coordenadas esféricas. A equação de onda é dada por:
partial^2 psipartial t^2 = c^2 nabla^2 psi
Onde nabla^2 é o operador Laplaciano. Em coordenadas esféricas (r, theta, phi), o Laplaciano de uma função que depende apenas de r e t (como é o caso da nossa função) simplifica para:
nabla^2 psi = 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial psipartial r )

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação de onda. Primeiro, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação ao tempo.
Nossa função é:
psi(r, t) = 1r e^i(k r - omega t)
Calculando a primeira derivada em relação ao tempo:
partial psipartial t = 1r cdot (-i omega) e^i(k r - omega t) = -i omegar e^i(k r - omega t)
E a segunda derivada:
partial^2 psipartial t^2 = -i omegar cdot (-i omega) e^i(k r - omega t) = -omega^2r e^i(k r - omega t)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o Laplaciano nabla^2 psi. Primeiro, encontramos a primeira derivada de psi em relação a r:
partial psipartial r = partialpartial r ( 1r e^i(k r - omega t) ) = -1r^2 e^i(k r - omega t) + 1r cdot i k e^i(k r - omega t) = ( -1r^2 + i kr ) e^i(k r - omega t)
Agora, multiplicamos por r^2 e derivamos novamente:
partialpartial r ( r^2 partial psipartial r ) = partialpartial r ( r^2 ( -1r^2 + i kr ) e^i(k r - omega t) )
Simplificando dentro da derivada:
r^2 ( -1r^2 + i kr ) = -1 + i k r
Então, a derivada fica:
partialpartial r ( -1 + i k r ) e^i(k r - omega t) + ( -1 + i k r ) cdot i k e^i(k r - omega t)
Calculando:
i k e^i(k r - omega t) + ( -1 + i k r ) i k e^i(k r - omega t) = ( i k - i k + (i k)^2 r ) e^i(k r - omega t) = -k^2 r e^i(k r - omega t)
Portanto:
nabla^2 psi = 1r^2 cdot (-k^2 r) e^i(k r - omega t) = -k^2r e^i(k r - omega t)

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na equação de onda:
partial^2 psipartial t^2 = -omega^2r e^i(k r - omega t)
e
c^2 nabla^2 psi = c^2 ( -k^2r e^i(k r - omega t) ) = -c^2 k^2r e^i(k r - omega t)
Para que a função psi seja uma solução da equação de onda, as duas expressões devem ser iguais:
-omega^2r e^i(k r - omega t) = -c^2 k^2r e^i(k r - omega t)
Podemos simplificar ambos os lados eliminando -1r e^i(k r - omega t):
omega^2 = c^2 k^2

Passo 6

A última equação mostra a relação entre omega e k:
omega = c k
Essa é a relação de dispersão para ondas harmônicas, indicando que a frequência angular omega está diretamente relacionada ao número de onda k e à velocidade da onda c.

Resposta

Portanto, mostramos que a função harmônica esférica 1r e^i(k r - omega t) satisfaz a equação de onda tridimensional, desde que omega = c k. Isso confirma que a função dada é uma solução válida da equação de onda.

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