Prove that the spherical harmonic wave function
is a solution of the three-dimensional wave equation, where
. The proof is easier if spherical coordinates are used.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função harmônica esférica definida como:
E precisamos provar que ela é uma solução da equação de onda tridimensional:
Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem,
é o número de onda,
é a frequência angular, e
é a velocidade da onda. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de onda tridimensional em coordenadas esféricas. A equação de onda é dada por:
Onde
é o operador Laplaciano. Em coordenadas esféricas
, o Laplaciano de uma função que depende apenas de
e
(como é o caso da nossa função) simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação de onda. Primeiro, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação ao tempo.
Nossa função é:
Calculando a primeira derivada em relação ao tempo:
E a segunda derivada:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o Laplaciano
. Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, multiplicamos por
e derivamos novamente:
Simplificando dentro da derivada:
Então, a derivada fica:
Calculando:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na equação de onda:
e
Para que a função
seja uma solução da equação de onda, as duas expressões devem ser iguais:
Podemos simplificar ambos os lados eliminando
:
Passo 6
A última equação mostra a relação entre
e
:
Essa é a relação de dispersão para ondas harmônicas, indicando que a frequência angular
está diretamente relacionada ao número de onda
e à velocidade da onda
.
Resposta
Portanto, mostramos que a função harmônica esférica
satisfaz a equação de onda tridimensional, desde que
. Isso confirma que a função dada é uma solução válida da equação de onda.