Prove that the sum of the first
cubes is equal to the square of the sum of the first
positive integers:
Passo 1
O enunciado dá a sequência dos cubos dos inteiros positivos e pede para provar a igualdade
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O lado esquerdo é a soma dos primeiros
cubos, isto é . - O lado direito é o quadrado da soma dos primeiros
inteiros, isto é .
O objetivo é mostrar que a igualdade vale para todo inteiro.
Passo 2
Vamos primeiro lembrar e provar a fórmula da soma dos primeiros
inteiros, porque ela será útil e é simples de derivar de maneira direta (muito usada em provas).
Defina
Defina
Escrevendo a soma na ordem direta e na ordem reversa e somando termo a termo:
Somando as duas linhas termo a termo obtemos
pares cada um igual a
, então
Dividindo por
,
Explicação do que cada símbolo significa:
é a soma
;
é o número de termos. Essa fórmula diz que a soma dos primeiros
inteiros é
. Exemplo concreto: para
,
e a fórmula dá
.
Passo 3
Checagem da base para a prova por indução: verifique
.
Lado esquerdo: .
Lado direito: .
Portanto é verdadeira.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Portanto
Passo 4
Passo indutivo — hipótese e objetivo.
Suponha que seja verdadeira para algum
, ou seja suponha
Suponha que
Queremos provar
, isto é
Passo 5
Usar a hipótese indutiva e a fórmula de
para transformar o lado esquerdo até obter o lado direito.
Escrevendo a soma até como soma até
mais o termo
:
Escrevendo a soma até
Pela hipótese indutiva substitui-se
por
. Chamando
, obtemos
Agora vamos mostrar que isso é igual a
. Usando a fórmula do Passo 2,
e
. Substituindo
em
e simplificando passo a passo:
Coloca-se fator comum
:
Soma-se as frações no parêntese (colocando sobre o mesmo denominador
):
Assim
Portanto
ou seja
é verdadeira sempre que
é verdadeira.
Passo 6
Conclusão final pela indução matemática: como
é verdadeira e mostramos que
, a propriedade
vale para todo inteiro
. Além disso, usando a fórmula de
do Passo 2, obtemos a forma fechada