Prove that the sum of the first n cubes is equal to the square of the sum of the first n positive integers:
P(n): 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=(1+2+\cdots+n)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a sequência dos cubos dos inteiros positivos e pede para provar a igualdade
P(n):\quad 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=(1+2+\cdots+n)^{2}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O lado esquerdo é a soma dos primeiros n cubos, isto é \sum_{k=1}^{n} k^{3}.
  • O lado direito é o quadrado da soma dos primeiros n inteiros, isto é \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}.
    O objetivo é mostrar que a igualdade vale para todo inteiro n\ge 1.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar e provar a fórmula da soma dos primeiros n inteiros, porque ela será útil e é simples de derivar de maneira direta (muito usada em provas).
Defina
S_n = 1+2+\cdots+n.
Escrevendo a soma na ordem direta e na ordem reversa e somando termo a termo:
S_n = 1+2+\cdots+(n-1)+n,
S_n = n+(n-1)+\cdots+2+1.
Somando as duas linhas termo a termo obtemos n pares cada um igual a n+1, então
2S_n = n(n+1).
Dividindo por 2,
S_n = \frac{n(n+1)}{2}.
Explicação do que cada símbolo significa: S_n é a soma 1+2+\cdots+n; n é o número de termos. Essa fórmula diz que a soma dos primeiros n inteiros é \dfrac{n(n+1)}{2}. Exemplo concreto: para n=4, S_4=1+2+3+4=10 e a fórmula dá \dfrac{4\cdot5}{2}=10.

Passo 3

Checagem da base para a prova por indução: verifique P(1).
Lado esquerdo: 1^{3}=1.
Lado direito: (1)^{2}=1.
Portanto P(1) é verdadeira.

Passo 4

Passo indutivo — hipótese e objetivo.
Suponha que P(n) seja verdadeira para algum n\ge 1, ou seja suponha
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}.
Queremos provar P(n+1), isto é
\sum_{k=1}^{n+1} k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n+1} k\right)^{2}.

Passo 5

Usar a hipótese indutiva e a fórmula de S_n para transformar o lado esquerdo até obter o lado direito.
Escrevendo a soma até n+1 como soma até n mais o termo (n+1)^{3}:
\sum_{k=1}^{n+1} k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n} k^{3}\right) + (n+1)^{3}.
Pela hipótese indutiva substitui-se \sum_{k=1}^{n} k^{3} por \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}. Chamando S_n=\sum_{k=1}^{n} k, obtemos
\sum_{k=1}^{n+1} k^{3} = S_n^{2} + (n+1)^{3}.
Agora vamos mostrar que isso é igual a S_{n+1}^{2}. Usando a fórmula do Passo 2, S_n=\dfrac{n(n+1)}{2} e S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}. Substituindo S_n em S_n^{2}+(n+1)^{3} e simplificando passo a passo:
S_n^{2}+(n+1)^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} + (n+1)^{3}.
Coloca-se fator comum (n+1)^{2}:
\left(\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\right) + (n+1)^{3} = (n+1)^{2}\left(\frac{n^{2}}{4} + (n+1)\right).
Soma-se as frações no parêntese (colocando sobre o mesmo denominador 4):
\frac{n^{2}}{4} + (n+1) = \frac{n^{2} + 4n + 4}{4} = \frac{(n+2)^{2}}{4}.
Assim
S_n^{2}+(n+1)^{3} = (n+1)^{2} \cdot \frac{(n+2)^{2}}{4} = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2} = S_{n+1}^{2}.
Portanto
\sum_{k=1}^{n+1} k^{3} = S_{n+1}^{2},
ou seja P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) é verdadeira.

Passo 6

Conclusão final pela indução matemática: como P(1) é verdadeira e mostramos que P(n)\Rightarrow P(n+1), a propriedade P(n) vale para todo inteiro n\ge 1. Além disso, usando a fórmula de S_n do Passo 2, obtemos a forma fechada
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

Resposta

\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

Exercícios relacionados