Find:
5(\bmod 12)

Passo 1

O enunciado pede calcular \,5 \bmod 12\,.
Informações dadas:
  • O número cujo resto queremos é \,5\,.
  • O módulo é \,12\,.
    O objetivo é encontrar o resto da divisão inteira de \,5\, por \,12\, (ou um representante padrão da classe de congruência módulo \,12\,).

Passo 2

Definição (algoritmo da divisão): para inteiros a e m>0 existem inteiros únicos q (quociente) e r (resto) tais que
a = m q + r
com
0 \le r < m.
Aqui a é o número que se divide, m é o divisor (módulo), q é o quociente inteiro e r é o resto (o que queremos como \,a \bmod m).

Passo 3

Aplicando ao caso: a=5 e m=12. Como \,5 < 12\, e \,5 \ge 0, o quociente inteiro ao dividir \,5\, por \,12\, é \,q=0\,. Portanto o resto é \,r=5\,, porque
5 = 12\cdot 0 + 5.

Passo 4

Interpretação em linguagem de congruência: o resultado significa que
5 \equiv 5 \pmod{12}.
A classe de congruência de \,5\, módulo \,12\, é o conjunto
\{\,5 + 12k \mid k \in \mathbb{Z}\,\},
ou seja, números como \,-7,\,5,\,17,\,29,\ldots são todos congruentes a \,5\, módulo \,12.

Passo 5

Dica rápida para prova: se o número a satisfaz 0 \le a < m, então \,a \bmod m = a. Se a for maior, subtrai-se múltiplos de m até entrar nesse intervalo; se a for negativo, soma-se múltiplos de m até entrar nesse intervalo. Isso evita fazer divisões longas.

Resposta

5

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