Prove que
(a) se Ln(z)=ln r+j theta; com r>0 e theta in(pi / 4,9 pi / 4), então Ln(z)=ln r+j theta;
(b) se r>0; com theta in(3 pi / 4,11 pi / 4) e , então .

Passo 1

O exercício pede para mostrar que, dependendo do intervalo escolhido para o argumento no ramo principal de Ln(z)=ln r + jtheta, a relação Ln(j^2)=2Ln(j) pode valer ou não. Vamos usar a definição do logaritmo complexo em ramo de ângulo theta e calcular os argumentos de j e de -1 nos dois casos.

Passo 2

Considerando o ramo com thetain(pi/4,9pi/4):
Para j=e^j(pi/2+2kpi), verificamos que pi/2in(pi/4,9pi/4), logo
Ln(j)=ln1 + jtfracpi2=jtfracpi2
Para j^2=-1=e^j(pi+2mpi), o valor piin(pi/4,9pi/4), então
Ln(j^2)=ln1 + jpi=jpi
Logo
Ln(j^2)=jpi=2l(jtfracpi2r)=2Ln(j)

Passo 3

Considerando o ramo com thetain(3pi/4,11pi/4):
Para j=e^j(pi/2+2kpi), o valor pi/2 não está em (3pi/4,11pi/4); mas pi/2+2pi=5pi/2in(3pi/4,11pi/4). Assim,
Ln(j)=jtfrac5pi2,
e
j^2=-1=e^j(pi+2mpi),piin(3pi/4,11pi/4),
logo
Ln(j^2)=jpi
Então
2Ln(j)=2l(jtfrac5pi2r)=j5pineq jpi=Ln(j^2)

Passo 4

Portanto, no ramo (pi/4,9pi/4) vale Ln(j^2)=2Ln(j), enquanto no ramo (3pi/4,11pi/4) essa igualdade não se mantém.

Resposta

No caso (a): Ln(j^2)=jpi=2Ln(j). No caso (b): Ln(j^2)=jpineq j5pi=2Ln(j).

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