Obtenha a solução geral da equação diferencial y^prime prime-y=2 t+4 utilizando primeiro o método dos coeficientes a determinar e em seguida o método de variação dos parùmetros. Qual deles foi mais råpido?
Resp. yp=-2 t-4

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y''-y=2t+4 usando primeiro o método dos coeficientes a determinar e depois variação de parâmetros, e em seguida comparar qual foi mais rápido. Vamos precisar achar a solução homogênea (das raízes de r^2-1=0), depois uma particular pelo método de coeficientes, e por fim aplicar variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
r^2 - 1 = 0
com raízes r=1 e r=-1. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t + C2e^-t

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular yp. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, supomos
yp(t)=At + B
Derivando, temos yp'=A e yp''=0. Substituindo em y''-y=2t+4, obtemos
0 - (At+B) = 2t + 4
ou seja
-At - B = 2t + 4

Passo 4

Comparando coeficientes de t e termos constantes, temos
-A = 2 implies A = -2,
-B = 4 implies B = -4
Portanto
yp(t) = -2t - 4
Assim a solução geral pelo método dos coeficientes é
y(t)=C1e^t + C2e^-t - 2t - 4

Passo 5

Agora usamos variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais y1=e^t e y2=e^-t. O Wronskiano é
W = e^t & e^-t e^t & -e^-t = -2
As fórmulas dão
u1' = -g(t) y2W = (2t+4)e^-t2 = (t+2)e^-t,
$$
u_2’ = \frac{g(t) y_1}{W} = - (t+2)e^t.
u2' = g(t) y1W = - (t+2)e^t
\nu_1 = \int (t+2)e^{-t} dt = -(t+3)e^{-t},
$$
nu1 = integral (t+2)e^-t dt = -(t+3)e^-t,
Então a particular é
nu2 = integral -(t+2)e^t dt = -(t+1)e^t
confirmando o mesmo yp = nu1y1 + nu2y2 = -(t+3) - (t+1) = -2t - 4, .

Passo 6

Ambos os métodos chegam à mesma solução, porém o método dos coeficientes a determinar foi mais rápido, pois bastou supor um polinômio e comparar coeficientes sem precisar de integrações.

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