O enunciado pede a solução geral da EDO usando primeiro o método dos coeficientes a determinar e depois variação de parâmetros, e em seguida comparar qual foi mais rápido. Vamos precisar achar a solução homogênea (das raízes de ), depois uma particular pelo método de coeficientes, e por fim aplicar variação de parâmetros.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. A equação característica é
com raízes e . Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular . Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, supomos
Derivando, temos e . Substituindo em , obtemos
ou seja
Passo 4
Comparando coeficientes de e termos constantes, temos
Portanto
Assim a solução geral pelo método dos coeficientes é
Passo 5
Agora usamos variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais e . O Wronskiano é
As fórmulas dão
u1' = -g(t) y2W = (2t+4)e^-t2 = (t+2)e^-t,
$$
u_2’ = \frac{g(t) y_1}{W} = - (t+2)e^t.
u2' = g(t) y1W = - (t+2)e^t
\nu_1 = \int (t+2)e^{-t} dt = -(t+3)e^{-t},
$$
nu1 = integral (t+2)e^-t dt = -(t+3)e^-t,
Então a particular é
nu2 = integral -(t+2)e^t dt = -(t+1)e^t
confirmando o mesmo yp = nu1y1 + nu2y2 = -(t+3) - (t+1) = -2t - 4, .
Passo 6
Ambos os métodos chegam à mesma solução, porém o método dos coeficientes a determinar foi mais rápido, pois bastou supor um polinômio e comparar coeficientes sem precisar de integrações.