Prove que a integral converge para o valor indicado.
integral0^infty 2 x^2-1x^4+5 x^2+4 d x=pi4

Passo 1

Enunciado e conteúdo: Precisamos provar que a integral imprópria integral0^infty 2x^2-1x^4+5x^2+4,dx=pi4converge e calcular seu valor. O assunto aqui é integração de funções racionais em [0,infty), usando decomposição em frações parciais e a fórmula padrão de integral0^inftydxx^2+a^2.

Passo 2

Fatoração e frações parciais: Primeiro, fatoramos o denominador em quadrados perfeitos:
x^4+5x^2+4=(x^2+1)(x^2+4)
Procuramos constantes A e B tais que
2x^2-1(x^2+1)(x^2+4)=Ax^2+1+Bx^2+4
Multiplicando em cruz:
2x^2-1=A(x^2+4)+B(x^2+1)
Igualando coeficientes:
A+B=2,4A+B=-1,
daí A=-1 e B=3.

Passo 3

Expressão da integral e convergência: Substituindo, temos
integral0^infty2x^2-1x^4+5x^2+4,dx=integral0^inftyl(-1x^2+1+3x^2+4r),dx
Para verificar convergência: perto de 0 o integrando é contínuo e, para xtoinfty, ele se comporta como 2/x^2, que é integrável em [1,infty).

Passo 4

Cálculo das integrais padrão e conclusão: Usamos a fórmula
integral0^inftydxx^2+a^2=pi2a, a>0
Logo
integral0^inftydxx^2+1=pi2,integral0^inftydxx^2+4=pi4
Portanto,
I=-pi2+3cdotpi4=-2pi4+3pi4=pi4

Resposta

\frac{\pi}{4}

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