Prove que a integral converge para o valor indicado.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: Precisamos provar que a integral imprópria
converge e calcular seu valor. O assunto aqui é integração de funções racionais em
, usando decomposição em frações parciais e a fórmula padrão de
.
Passo 2
Fatoração e frações parciais: Primeiro, fatoramos o denominador em quadrados perfeitos:
Procuramos constantes
Multiplicando em cruz:
Igualando coeficientes:
daí
e
.
Passo 3
Expressão da integral e convergência: Substituindo, temos
Para verificar convergência: perto de
Passo 4
Cálculo das integrais padrão e conclusão: Usamos a fórmula
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Portanto,
Resposta
\frac{\pi}{4}