Prove que para todo x \neq 0, x \in \mathbb{R} tem-se:
(1+x)^{2 n}>1+2 n x, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para provar que, para todo x\neq 0, x\in\mathbb{R}, e para todo n\in\mathbb{N},
(1+x)^{2n}>1+2nx.
  • Informações relevantes: x é um real diferente de zero e n é um inteiro natural. Não há outras restrições (por exemplo sobre o sinal de x).

Passo 2

Estratégia e por que ela faz sentido (sem desenvolver ainda): é natural considerar a diferença entre os dois lados e mostrar que essa diferença é sempre positiva quando x\neq0. Definimos a função
f(x)=(1+x)^{2n}-1-2nx,
e provaremos que f(x)>0 para todo x\neq0. Essa abordagem transforma a desigualdade em um problema de mostrar positividade de uma função real, que pode ser feito analisando derivadas (mínimo global) ou pela expansão binomial. Vou usar derivadas porque permitem tratar de forma direta todos os x\in\mathbb{R} sem fazer muitos casos.

Passo 3

Calcular a primeira derivada e interpretar: o objetivo é encontrar pontos críticos (onde a derivada é zero), que poderão ser candidatos a mínimos.
Derivando f termo a termo (a derivada de (1+x)^{2n} é 2n(1+x)^{2n-1} pela regra da potência/chain rule), obtemos
f'(x)=2n(1+x)^{2n-1}-2n=2n\bigl((1+x)^{2n-1}-1\bigr).
Explicar a equação f'(x)=0: isso equivale a
(1+x)^{2n-1}=1.
Como 2n-1 é ímpar (porque 2n é par), a função t\mapsto t^{2n-1} é estritamente crescente em \mathbb{R}. Logo a igualdade t^{2n-1}=1 tem exatamente uma solução real, que é t=1. Portanto 1+x=1 e daí o único ponto crítico é
x=0.

Passo 4

Calcular a segunda derivada e usar convexidade: a segunda derivada indica curvatura e permite concluir se o ponto crítico é mínimo ou máximo.
Derivando novamente,
f''(x)=2n(2n-1)(1+x)^{2n-2}.
Note que 2n(2n-1)>0 e que a potência (1+x)^{2n-2} tem expoente par (ou zero), portanto (1+x)^{2n-2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim
f''(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
ou seja, f é convexa no domínio inteiro dos reais. Em particular, qualquer ponto crítico de f é um mínimo global.

Passo 5

Concluir que x=0 é mínimo global e avaliar o mínimo: já vimos que x=0 é o único ponto crítico e que f é convexa, portanto x=0 é o mínimo global de f. Calculemos o valor no mínimo:
f(0)=(1+0)^{2n}-1-2n\cdot 0=1-1=0.
Logo para todo x\in\mathbb{R} vale f(x)\ge 0 e a igualdade ocorre em x=0.

Passo 6

Concluir a desigualdade estrita para x\neq0: como f(0)=0 é o menor valor possível e é atingido somente em x=0 (único ponto crítico), segue que para todo x\neq 0 temos f(x)>0. Reescrevendo f(x)>0 obtemos exatamente
(1+x)^{2n}-1-2nx>0\quad\Longrightarrow\quad (1+x)^{2n}>1+2nx.

Passo 7

Observação e alternativa: para intuir sem derivadas, expanda pela fórmula do binômio de Newton:
(1+x)^{2n}=1+2nx+\sum_{k=2}^{2n}\binom{2n}{k}x^{k}.
Para x>0 todos os termos da soma são positivos, daí a desigualdade. Para x<0 é preciso tratar sinais dos termos de ordem ímpar e par; essa verificação é mais trabalhosa caso a caso, por isso a prova por convexidade/derivadas é mais direta e cobre todos os casos de uma vez. Se quiser, posso detalhar a prova inteira apenas com o binômio (sem cálculo).

Resposta

(1+x)^{2n}>1+2nx para todo x\neq 0, x\in\mathbb{R}, e todo n\in\mathbb{N}.

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