Derive a função f(x)=\ln \left(\frac{\sqrt{x+1}}{(x+1)^{3}}\right), x>1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln\!\left(\frac{\sqrt{x+1}}{(x+1)^{3}}\right),\qquad x>1,
e pede para calcular a derivada f'(x). As informações relevantes:
  • A função está definida para x>1, o que garante x+1>0 e então o logaritmo natural está bem definido.
  • Queremos a derivada em função de x.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades de potências. Lembrando que \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2} e que, ao dividir potências de mesma base, subtrai-se os expoentes. Portanto:
\frac{\sqrt{x+1}}{(x+1)^{3}}=\frac{(x+1)^{1/2}}{(x+1)^{3}}=(x+1)^{\,\frac{1}{2}-3}.
Calcule o expoente:
\frac{1}{2}-3=\frac{1}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{5}{2}.
Logo
\frac{\sqrt{x+1}}{(x+1)^{3}}=(x+1)^{-\tfrac{5}{2}}.

Passo 3

Agora use a propriedade do logaritmo natural que diz \ln(a^{k})=k\ln(a) (válida para a>0). Aplicando a essa potência:
f(x)=\ln\!\big((x+1)^{-\tfrac{5}{2}}\big)=-\tfrac{5}{2}\,\ln(x+1).
Breve explicação da fórmula: \ln(a^{k}) é k vezes \ln(a) porque o logaritmo transforma potência em produto — isso é útil para tirar expoentes para fora do logaritmo e simplificar a diferenciação.

Passo 4

Vamos derivar a forma simplificada. Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural:
  • Regra: se g(x)=\ln(u(x)) então g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
    No nosso caso, f(x)=-\tfrac{5}{2}\,\ln(x+1). A constante -\tfrac{5}{2} sai da derivada e sobra derivar \ln(x+1).
    Defina u(x)=x+1. Então u'(x)=1. Aplicando a regra:
\frac{d}{dx}\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}.
Multiplicando pela constante:
f'(x)=-\tfrac{5}{2}\cdot\frac{1}{x+1}.

Passo 5

Simplifique a expressão final para uma fração única:
f'(x)=-\frac{5}{2(x+1)}.
Esta é a derivada para todo x>1.

Resposta

-\dfrac{5}{2(x+1)}

Exercícios relacionados