Derive a função
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada
. As informações relevantes:
- A função está definida para
, o que garante e então o logaritmo natural está bem definido. - Queremos a derivada em função de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades de potências. Lembrando que
e que, ao dividir potências de mesma base, subtrai-se os expoentes. Portanto:
Calcule o expoente:
Logo
Passo 3
Agora use a propriedade do logaritmo natural que diz
(válida para
). Aplicando a essa potência:
Breve explicação da fórmula:
é
vezes
porque o logaritmo transforma potência em produto — isso é útil para tirar expoentes para fora do logaritmo e simplificar a diferenciação.
Passo 4
Vamos derivar a forma simplificada. Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural:
- Regra: se
então .
No nosso caso,. A constante sai da derivada e sobra derivar .
Defina. Então . Aplicando a regra:
Multiplicando pela constante:
Passo 5
Simplifique a expressão final para uma fração única:
Esta é a derivada para todo
.