Resolva a equação diferencial ordinária
t y^{\prime}-y=t^{2} e^{-t}, t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
t\,y^{\prime}-y=t^{2}e^{-t},\quad t>0,
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A derivada aparece como y^{\prime}=\dfrac{dy}{dt}.
  • A equação vale para t>0.
  • Queremos encontrar a solução geral (constante de integração C incluída).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por t (permitido pois t>0):
y^{\prime}-\frac{1}{t}y=t e^{-t}.
Esta é uma equação linear da forma
y^{\prime}+p(t)y=q(t),
com
p(t)=-\frac{1}{t},\qquad q(t)=t e^{-t}.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada para achar a solução complementária (homogênea). A homogênea é
y^{\prime}-\frac{1}{t}y=0.
Isto pode ser resolvido por separação de variáveis. Escrevendo como
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t}y
e separando:
\frac{dy}{y}=\frac{dt}{t}.
Integrando ambos os lados:
\ln|y|=\ln t + C_1.
Exponenciando:
y_h=C t,
onde C é uma constante arbitrária (absorvendo o sinal e e^{C_1}). Assim a solução homogênea é \;y_h(t)=C t.

Passo 4

Encontrar uma solução particular usando o fator integrante. Para a equação na forma padrão, o fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(-\ln t)=\frac{1}{t}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=\dfrac{1}{t} obtemos
\frac{1}{t}y^{\prime}-\frac{1}{t^{2}}y=\frac{1}{t}\,t e^{-t}=e^{-t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{y}{t}, pois
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{y}{t}\right)=\frac{y^{\prime}t-y}{t^{2}}=\frac{1}{t}y^{\prime}-\frac{1}{t^{2}}y.
Portanto obtemos a equação simples
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{y}{t}\right)=e^{-t}.

Passo 5

Integrar a equação obtida para achar \dfrac{y}{t}:
\frac{y}{t}=\int e^{-t}\,dt = -e^{-t}+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por t:
y(t)=C t - t e^{-t}.
Essa é a solução geral da equação diferencial para t>0.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação que a solução realmente satisfaz a equação). Seja y(t)=C t - t e^{-t}. Calcule
y^{\prime}(t)=C - e^{-t} + t e^{-t}.
Então
t\,y^{\prime}-y = t\bigl(C - e^{-t} + t e^{-t}\bigr) - \bigl(C t - t e^{-t}\bigr) = tC - t e^{-t} + t^{2}e^{-t} - C t + t e^{-t} = t^{2}e^{-t},
que coincide com o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=C t - t e^{-t},\quad C\in\mathbb{R}.

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