Resolva a equação diferencial ordinária
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A derivada aparece como
. - A equação vale para
. - Queremos encontrar a solução geral (constante de integração
incluída).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(permitido pois
):
Esta é uma equação linear da forma
com
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada para achar a solução complementária (homogênea). A homogênea é
Isto pode ser resolvido por separação de variáveis. Escrevendo como
e separando:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo o sinal e
). Assim a solução homogênea é
.
Passo 4
Encontrar uma solução particular usando o fator integrante. Para a equação na forma padrão, o fator integrante
é
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto obtemos a equação simples
Passo 5
Integrar a equação obtida para achar
:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial para
.
Passo 6
Verificação rápida (confirmação que a solução realmente satisfaz a equação). Seja
. Calcule
Então
que coincide com o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.