Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre a soma dos cubos dos primeiros
inteiros e o quadrado do
-ésimo número triangular. Mais explicitamente:
- O que nos dão: a soma
- O que devemos provar: que essa soma vale
Aqui
é um inteiro positivo qualquer e
é o índice de soma que vai de
até
. A tarefa é demonstrar que
Passo 2
Vou definir e explicar um conceito útil: o número triangular. Para cada inteiro
defino
- Interpretação:
é o -ésimo número triangular (soma dos primeiros inteiros). Por exemplo , , . - Uma propriedade simples e importante é a diferença entre dois triangulares consecutivos:
porque
é a soma dos primeiros
inteiros e
é a soma dos primeiros
inteiros; subtraindo sobra exatamente o
-ésimo termo.
Passo 3
Vou provar a identidade telescópica que é a chave para a soma dos cubos:
Demonstração algébrica passo a passo:
Primeiro uso a fatoração da diferença de quadrados:
Já sabemos que
. Agora calculo
. Usando a definição de
:
Colocando em evidência
e somando:
Substituindo de volta na diferença de quadrados:
Portanto a identidade desejada está provada:
Passo 4
Agora somo essa identidade para
de
até
. À esquerda obtenho a soma dos cubos; à direita obtenho uma soma telescópica:
Como é uma soma telescópica, os termos intermediários se cancelam par a par:
Ao somar, tudo cancela exceto o último termo positivo e o primeiro termo negativo:
Mas
, logo
Finalmente substituo a expressão de
:
Isso completa a prova por telescópio.
Passo 5
Para consolidar: apresento também, rapidamente, a prova por indução (método clássico), caso você prefira ou precise usá-la na prova.
Base: para
,
e
portanto a igualdade vale para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então para
temos
Agora mostro que o lado direito se transforma exatamente em
. Fazer a álgebra:
Calculo
Coloco tudo sobre
:
Logo
Assim a propriedade vale para
. Por indução, vale para todo inteiro
. Isso confirma a mesma fórmula.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para checar e fixar: para
,
Bate certinho — bom sinal!
Força aí nos estudos — esse resultado é clássico e ótimo de decorar: a soma dos cubos é o quadrado da soma dos primeiros
inteiros.