(1.) Prove que, para todo
, tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, a sequência
satisfaz
. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e vamos usar a técnica de transformar em logaritmo para aproveitar o fato de que
.
Passo 2
Definimos
Nosso objetivo é calcular
.
Passo 3
Para lidar com a potência que depende de
, tomamos o logaritmo natural de
:
Passo 4
Agora analisamos o limite de
. Observe que
Sabemos que
e
.
Logo,
e
Logo,
Passo 5
Como
, pela continuidade da exponencial temos