(1.) Prove que, para todo p \in \mathbb{N}, tem-se \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n+p]{n}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo p\in\mathbb{N}, a sequência
a_n = \sqrt[n+p]{n}
satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=1. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e vamos usar a técnica de transformar em logaritmo para aproveitar o fato de que \ln n / n\to0.

Passo 2

Definimos
a_n = \sqrt[n+p]{n} = n^{\frac{1}{\,n+p\,}}.
Nosso objetivo é calcular \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 3

Para lidar com a potência que depende de n, tomamos o logaritmo natural de a_n:
\ln a_n = \ln\Bigl(n^{\frac{1}{n+p}}\Bigr) = \frac{\ln n}{n+p}.

Passo 4

Agora analisamos o limite de \ln a_n. Observe que
\frac{\ln n}{n+p} = \frac{\ln n}{n}\,\frac{n}{n+p}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0
e
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+p}=1.
Logo,
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n+p} = 0.

Passo 5

Como \ln a_n \to 0, pela continuidade da exponencial temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{\ln a_n} = e^0 = 1.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n+p]{n} = 1.

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