Se \lim x_{n}=a, prove que \lim \left|x_{n}\right|=|a|.

Passo 1

O enunciado diz que \lim_{n\to\infty}x_{n}=a e pede para mostrar que \lim_{n\to\infty}\lvert x_{n}\rvert=\lvert a\rvert. Vamos usar a definição de limite de sequência e a desigualdade triangular aplicada ao valor absoluto.

Passo 2

Usamos a propriedade da desigualdade triangular para valores absolutos, que dá, para todo n,
\lvert\,\lvert x_{n}\rvert-\lvert a\rvert\,\rvert \le \lvert x_{n}-a\rvert.

Passo 3

Pela definição de limite de x_{n} em a, dado qualquer \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale
\lvert x_{n}-a\rvert < \varepsilon.

Passo 4

Então, para n\ge N, usando a desigualdade do Passo 2,
\lvert\,\lvert x_{n}\rvert-\lvert a\rvert\,\rvert \le \lvert x_{n}-a\rvert < \varepsilon.
Isso mostra que, segundo a definição de limite, \lim_{n\to\infty}\lvert x_{n}\rvert=\lvert a\rvert.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\lvert x_{n}\rvert=\lvert a\rvert.

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